《26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用（卷）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用（卷）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本资料来源于七彩教育网:/26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用【知识网络】 1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2、会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；3、了解三阶或高阶矩阵；4、矩阵的应用。【典型例题】例1：（1）、已知，且 ，则n的值是 （ ）A3 B3 C3 D不存在答案：C。解析：，解得n=3。 （2）= ( ) A、 B、 C、 D、答案：C。解析：。（3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同学订了
2、A便当，60%的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 （ ）A、 B、 C、 D、答案：D。解析：设M=，则M3。 （4）矩阵的特征值是 。答案：-4或2。解析：矩阵M的特征值满足方程 =(-1) (+3)-(-)(-2)= 2+2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=-4，2=2。 （5）一实验室培养两种菌，令和分别代表两种培养菌在时间点n的数量，彼此有如下的关系，若二阶矩阵A=满足A，（其中n=0,1,2），则 ， ， ， 。答案：8，24，0，8。解析：，故得。例2：根据下列条件试判断M 是否与 共线M= ， 非零向量 = M= ， =答案： M= =3所以M与共线。 M= =
3、而与不共线。 即此时M与不共线。例3：求矩阵M= 的特征值和特征向量答案：矩阵M的特征值满足方程 =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的
4、一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。例4：已知：矩阵M= ，向量 = 求M3答案：由上题可知1 = ， 2 =是矩阵M分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1 与2 不共线。又 =3+=31+2M3= M3（31+2）=3 M31+ M32 =3131+232=343+（-2）3 = 192-8=。【课内练习】1(3，1)， (1，2)，则32的坐标是 ( )A(7，1) B(7，1) C(7，1) D(7，1)答案：B。2矩阵的特征值是 （ ）A、0和5 B、0和5 C、1和4 D、1和4答案：A。解析：由已知，解得。3下图为一个网络，则一级路矩阵为 （ ）A、 B、 C
5、、 D、答案：A。 4矩阵A=的特征多次式为 。答案：。解析：。5设A是一个二阶矩阵，满足A，且A，则A= 。答案：。解析：设A=，则。6矩阵M=的所有特征向量为 。答案：k和k。解析：已知，对应的特征向量为和，故所有的特征向量为：k和k。7已知点列满足，且，则P4坐标为 。答案：（2，6）。解析：即，故，又，即P4（2，6）。8求矩阵A=的特征值与特征向量。答案：矩阵A的特征多项式或1，其相应的特征向量分别为和。9已知ABC的坐标分别为A（1，1）、B（3，2 ）、C（2，4 ），写出直线AB的向量方程及其坐标形式。并求出BC边上的高。答案：AB的平行向量为：V0=，设M为直线AB上的任意一
6、点，故：所求向量方程为：OM = OA + t V0 ( tR ) 其坐标形式分别为：=+ t ( tR ) 由 ，直线AB的坐标形式方程可化为： 消去t后得普通方程为：x-2y+1=0 所以所求高为C到直线AB的距离，设为h,则：h= =。10假设某地只有甲乙两家工厂生产并贩卖某一种产品每一年甲工厂的顾客中有转向乙工厂购买此产品，只有仍然向甲工厂购买；而乙工厂的顾客中有转向甲工厂购买，其余的顾客仍然向乙工厂购买，请问一年、二年、三年后，甲乙两家工厂的市场占有率为何？ 答案：设甲乙两工厂目前市场占有率为，其中年后甲乙两工厂市场占有率分别为第一年甲工厂的市场占有率，乙工厂的市场占有率，令A=，X
7、n=，则可用AX0=X1表示上述的关系第二年甲工厂的市场占有率，乙工厂的市场占有率，则AX1=X2AXn=Xn+1,根据上述的关系：所以X2=，X3=【作业本】A组1对于一个二阶矩阵A，下列说法正确的是 （ ）A、它的特征向量是唯一的 B、它的特征向量有且只有两个C、它的特征向量有无穷多个 D、它的特征向量由它的特征值来确定答案：D。2设M=，则M50= （ ） A、 B、 C、 D、答案：A。解析：M2=，M4=，M50=。3假设每市每年有5%的人口移入市区，而市区每年有3%的人口移入郊区，且无其它地方的人口移入或移出，则市区与郊区的人口占比可用矩阵表示 （ ）A、 B、 C、 D、答案：A
8、。4矩阵A=的特征值为 。答案：。解析：由已知，解得。5如图所示的是A，B，C三个城市间的交通情况，则二级路矩阵为 。答案：。解析：由题意知，一级路矩阵M=，则二级路矩阵N=M2=。6已知M=，试计算答案：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以7为了保密，军中经常针对不同的军事行动而更改密码，今若约定以阶矩阵中每一列的数字和之个位数字代表更改后的密码，例如所代表的密码为7682。而且为了确保密码在传送过程中，不被敌方所窃取，因而作了加密动作，即将所要传送的密码之阶矩阵乘以固定矩阵X=，然后将所得出的阶矩阵传送给对方，当对方收到传送过来的阶矩阵后再进行解密的动作（例如：原始的矩阵
9、为A，先经过XA=B之运算后，再将B传送出去）。今若对方收到的阶矩阵为，问原始密码为何？答案：由题意知：A=，原始密码为8446。 8有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠中，有80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有60%在下次实验中走向右边。（1）试求其转移矩阵；（2）如果在第一次实验中有50%的老鼠走向右边，试求在第三次实验，有多少老鼠走向右边？答案：（1）M=；（2）M2，在第三次实验中，有74%的老鼠走向右边。B组1假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一门市还车，如果P=，其中表示从j门市租的车在i门市还的概率，则P12=
10、0.2表示的是 （ ）A、在第一门市租出去的车子中有0.2是在第二门市还的B、在第二门市租出去的车子中有0.2是在第二门市还的C、在第二门市租出去的车子中有0.2是在第一门市还的D、在第一门市租出去的车子中有0.2是在第一门市还的答案：C。解析：由矩阵P的意义知。2两个数列满足，其中，则 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：由已知，。3设甲箱内有2个白球，乙箱内有3个红球，现在每次各自箱中随机取一个球互换，在交换二次后，有2个红球在甲箱内的概率为 （ ）A、 B、 C、 D、答案：B。4某高中一学生，他的读书习惯是：如果他在今晚读书，则他在明晚有70%的机率不读书；如果他在今晚不读
11、书，则他在明晚有60%的机率不读书，若已知他在星期（今天）晚上读书，求他在星期四（大后天）晚上读书的机率为 _.答案：0.363。5使用球和一球袋作机率实验，球只有黑白两色，袋中装有两颗球，因此只有三种可能情况：把双白球称为状态1，一白球一黑球称为状态2，双黑球称为状态3，对这袋球做如下操作：自袋中随机移走一球后，再随机移入一颗白球或黑球（移入白球或黑球的机率相等）。每次操作可能会改变袋中球的状态，把从状态j经过一次操作后会变成状态i的机率记为，由此构成一矩阵P。若实验一开始袋中有双白球，则操作三次后袋中仍有双白球的机率 。答案：。6求投影变换矩阵M=的特征值和特征向量，请计算M10的值，解释它的几何意义。答案：M的特征多项式或0，故它的特征值为0和1，对应的特征向量为和。而，它的几何意义是：对于向量而言，无论对它作用多少次投影变换，它总变为向量。7证明：若是矩阵M对应于特征值的特征向量，则也是矩阵M对应于特征值的特征向量。答案：是矩阵M对应于特征值的特征向量，.又，也是矩阵M对应于特征值的特征向量。8（1）写出图示网络表示的一级路矩阵和二级路矩阵。 （2）已知一级路矩阵表示一个网络图，它们的结点分别是A，B，C，试画出一个网络图。答案：（1）一级路矩阵，二级路矩阵。（2）网络图：8实用文档 精心整理
