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1、各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 1在图141所示的算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字如果CHINA所代表的五位数能被24整除,那么这个五位数是多少? 【分析与解】 显然和的首位C为1, 由千位上H+K对应为H,所以K为0或9,但K为加数首位,那么K只能为9; 由十位上N+N对应为N,所以N为0或9,但K为9,那么N只能为0 有:HOOG+900G=1HIOA 注意到百位相加时有进位,个位相加时不进位,则O+0=I+10,G+G=A 又因为241HIOA,所以:3(1+H+I+0+A)且 而2O=I+10,所以I不可能
2、为奇数,那么A只能为8,A为8时,G为82=4 此时偶数只剩2、6,当I为2时,0为(2+10)26; 当I为6时,0为(6+lO)28,与A重复,不满足 即H604+9604=1H208,此时1+H+2+0+8=ll+H,3 11+H,那么H为1、4、7,而1、4已取过,所以H为7那么有7604+960417208为所求算式,CHINA所代表的五位数为17208 2ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993,问:乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时,两个数越紧接,乘
3、积越大;两个数的差越大,乘积越小 A显然只能为1,则BCD+EFG=993, 当ABCD与EFG的积最大时,ABCD、EFG最接近,则BCD尽可能小,EFG尽可能大,有BCD最小为234,对应EFG为759,所以有1234759是满足条件的最大乘积; 当ABCD与EFG的积最小时,ABCD、EFG差最大,则BCD尽可能大,EFG尽可能小,有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759234是满足条件的最小乘积; 它们的差为12347591759234=(1000+234)759一(1000+759)234=1000(759234)=5250003.在算式的每个方框内各填入一个数字,要
4、求所填的数字都是质数,并使得算式成立 【分析与解】 记等式为其中a、b、c、d、e、f六个数字都是质数 显然b、d不等,不然为同分母分数相减,所得的差分母不变,而1位质数只有2、3、5、7因为b、d均为质数,所以-=,且. 先考察bd=,因为b、d、e、f均为质数,一一验证,有:(十位为1,不是质数),(个位为1,不是质数),(b、d相同),57=35,(十位为4,不是质数,且b、d相同),所以、再考察adcb=1,7a一5c=1,解得 (t为自然数),但不满足a、c均为一位质数;5a一7c=1,解得,所以原式为:=. 4.有9个分数的和为1,它们的分子都是1其中的5个是,另外4个数的分母个位
5、数字都是5请写出这4个分数 【分析与解】 l一(+)= 需要将1010拆成4个数的和,这4个数都不是5的倍数,而且都是3371l的约数因此,它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693 经试验得693+231+77+9=1010所以,其余的4个分数是:,. 5. 在上面的圆圈和方框中,分别填人适当的自然数,使等式成立问在方框中应填多少? 【分析与解】 记圆圈里填入的是a,方框里填入的是b,那么+=,即=- =由于29是个质数,故2911a一12,从而a除以29余9 于是=,故b36 另外,,b29=31,即b32分别验证b=32,33,34,35,36各种情况,可知
6、只有当b=32和6=36时符合条件.6. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字,使其成为正确的等式 【分析与解】 1988=2277l=4497,+,在等式两边同时乘上,就得+显然满足题意 又+=,两边同乘以,就得+显然也满足 +,+均满足. 7.6口0.3=,6口=,6口0.3=,6口= 在上面4个算式的方框内,分别填上加、减、乘、除4种运算符号,使所得到的4个算式的答数之和尽可能大那么这个和等于多少?【分析与解】03 =3=,所以,0.3前面应填除号, 前面填减号,前填加号,前填乘号,才能使这四个算式的结果之和最大这个最大的和是:(60.3)+(6-)+(6+)+(6)=(6)+(6-)+
7、(6+3)+(6)=54 8小明按照下列算式: 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算,其中方框是乘号或除号,圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625,都是小于1的数,2与这三个数运算后,得5.05,4,4;不论减1还是加l后,这三个数都比2大,而这是2与小于1的数运算的结果,因此可以猜想方框内是除号现在验算一下:20.625=4.05;2=3;2=3;23=. 从上面四个算式来看,圆圈内填加号,这样有三个结果是对的,而4是错的 按照算式 乙组的数甲组的数+1* 2
8、3+1=1,显然不为1.5,上面已认定3是正确的,因此,只有把2改为1.5,才有1.53+1=1,而1.50.625+l=3.4,1.5+1=3.25 由此可见,确定的算式*是正确的表中有两个错误,4应改为4,2应改为1.5,4+1=5+=6改正后的两个数的和是6 9.把12,37,65,29,46分别填在图142的5个圆圈内,然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值,再把3个方框中的数的平均值填在三角形中请找出一种填法,使三角形中的数尽可能小问这个最小的数是多少?【分析与解】 要求平均数尽可能小,就要尽量少使用大的数,而要多使用小的数这五个,两端的中的数只参加一次运算,应该填入6
9、.5和4.6;中间的中的数参加了三次运算,应该填1.2,其余两个圆圈填2.9和3.7,这时有两种填法,不论哪一种,计算以后知道中填的数应该是3.1所以中数为3.1 10图143中有大、中、小3个正方形,组成了8个三角形现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上,再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上,最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能,请给出填数方法:如果不能,请说明理由 (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请给出填数方法;如果不能,请说明理由 【分析与解】 (1)无论怎样填法,都不可以使八个三
10、角形顶点上数字之和相等 事实上,假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等,不妨设每个三角形顶点上数字之和为k 在计算八个三角形顶点上数字之和时,大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次;中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次;小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 因此,这八个三角形顶点上数字之和的总和为: 8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4),即8k=60,k不为整数,矛盾,所以假设是错误的 (2)易知:不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同,所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4,最大为3+4+411 而411共8个数,于是有可能使得8个
11、三角形顶点上数字之和各不相同,可如下构造,且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法 11如图144,6个圆圈之间连接着13条线.请从0至13中取出6个数分别填入各圆圈内,使每条线段两端点上所填数的差(大数减小数)恰好取遍1至13中的每一个数 【分析与解】 为了取到13,所选的数必须包含0和13,又只有1311212012,所以至少还应有1和12中的1个,不妨设为1 把013之间的数组成如下几组(1,12)、(2,11)、(3,10)、(4,9)、(5,8)、(6,7),一旦某个数被选中,同组的数就都可以出现在差中由于已经取1,又为了每个数都可以在差中取到,因此应该适当地在后5组中选取出不同组的
12、3个数 在(2,11)中,如果选了2,那么再选取一个数,该数及其减1、减2都可以在差中取到,注意到(4,9)、(5,8)中的数都可以由其他两组的数减1、减2得到,因此选出10和6即可 12图145中有11条直线请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】 表述1:设每行的和为S,在左下图中,除了a出现2次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有4S=(1+2+3+11)+a=66+a; 在右上图中除了a出现5次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+
13、4a 综合以上两式, 5-4得66-11a=0,所以a=6,则S=18 考虑到含有*的五条线,有4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即4*-t=24,由t是111间的数且t*,可知*=7,而每行相等的和S为18.表述2:如下图所示,在每个圆圈内标上字母,带有*的圆圈标为x, 首先考虑以下四条直线:(h、f、a),(i、g、a),(x、d、b),(j、e、c),除了标有a的圆圈外,其余每个圆圈都出现了一次,而标有a的圆圈出现了两次,设每条直线上数字之和为S,则有: (111)112+a=4S,即66+a=4S 再考虑以下五条直线:(h、f、a),(i、g、a),(j、x、a),(e、d、a),(c、b、a),同理我们可得到66+4a=5S 综合两个等式,可得a为6,每条直线上和S为18 最后考虑含x的五条直线:(x、h),(x、g、f),(j、x、a),(x、d、b),(i、x、c)其中除了x出现了5次,e没有出现,其他数字均只出现了一次,于是可以得到: 66+4xe=5S=90,即4x-e=24,由e是111间的数且ex可知x=7即每行相等的和S为18,*所填的数为7 13.由3个不同数字能组成6个互异的三位数,这6个三位数的和是2886求所有这样的6个三位数中最小的三位数 【分析与解】设满足条件的最小三位数为,则由a、b、c组成的其他5个三位数为:、