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1、 第七讲第七讲 随机模型与随机模型与计算机模拟计算机模拟 随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) 时刻时刻 t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差若若X(t)=n, 对对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概
2、率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设建模建模为得到为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察
3、Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t), bn-1 t Pn+1(t), dn+1 t Pn(t), 1-bn t -dn t o( t)一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn=
4、 n，dn= n微分方程微分方程建模建模X(t)的期望的期望求解求解基本方程基本方程n-1=kn+1=k求解求解比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) X(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范围内（范围内（ (t) 均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率目的目的内容内容学习计算机模拟的基本过程与方法。学习计算机模拟的基本过程与方法。1 1、模拟的概念。、模拟的概念。3、计算机模拟实例。、计算机模拟实例。2、产生随机数的计算机命令。、产生随机数的计算机命令
5、。模拟的概念模拟的概念 模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。 模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息模拟的方法模拟的方法1、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚
6、远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。 在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。2、数学模拟 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。 蒙特卡洛（蒙特卡洛（Monte CarloMonte Carlo）方法）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数 返回用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：1 设计一个逻辑框图，即模拟模型这个框图要正确反映系统各部分运行时的逻辑关系
7、。2 模拟随机现象可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随机现象产生模拟随机数的计算机命令产生模拟随机数的计算机命令 在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下：2产生mn阶，均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)rand (m, n) 产生一个，均匀分布的随机数：randrand1产生mn阶a，b均匀分布U（a，b）的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n)unifrnd (a,b,m, n) 产生一个a，b均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)unifrnd (a,b) 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取
8、值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。 To Matlab（rnd）当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布。各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布。若连续型随机变量X的概率密度函数为 其中 0为常数，则称X服从参数为 的指数分布指数分布。指数分布的期望值为 排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。注意：注意：Matlab中，产生参数为 的指数分布的命令为exprnd( )设离散型随机变量X的所有可能取
9、值为0,1,2,且取各个值的概率为其中 0为常数，则称X服从参数为 的帕松分布帕松分布。帕松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有广泛应用。帕松分布的期望值为如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为 的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为 的泊松分布即单位时间内该事件出现k次的概率为：反之亦然。指数分布与帕松分布的关系： (1) (1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是指两个顾客到达商店的平均间隔时间是1010个单位时间个单位时间. .即平均即平均1010个单位时间到达个单位时间到达1 1个顾客个顾客. . (2) (2)指一个单位时间内平均到达指一个单位时间内平均到达0.
10、10.1个顾客个顾客例例 (1)(1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.10.1的指数分布的指数分布 (2) (2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为0.10.1的帕松分布的帕松分布 返回投掷硬币的计算机模拟投掷硬币的计算机模拟1、产生服从U（0，1）的随机数R12、将区间0，1两等分： 若 ，则对应硬币正面 若 ，则对应硬币反面掷骰子的计算机模拟掷骰子的计算机模拟1、产生服从U（0，1）的随机数R22、将区间0，1六等份： 若 ，则对应骰子点数为1 若 ，则对应骰子点数为2 若 ，则对应骰子点数为3 若 ，则对应骰子点数为4 若 ，则对应骰子点数为5 若 ，则对应骰子点数为6初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1R2=?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i20?E=(k2+k3)/20 E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20停止R1=0.5YNNYR25/6To Matlab(liti1)
