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1、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1) 设有一个原函数，则 (2) (3) 设，而为整数，则 (4) 在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布.若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，的最小值应不小于自然数 (5) 设随机变量独立同分布，则行列式的数学期望 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1) 设是连续函数，是的原函数，则 ( )(A) 当是奇函数时，必是偶函数。(B)
2、当是偶函数时，必是奇函数。(C) 当是周期函数时，必是周期函数。(D) 当是单调增函数时，必是单调增函数。(2) 设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于 ( )(A) (B) (C) (D)(3) 设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组()线性表示，记向量组()，则 ( )(A) 不能由(I)线性表示，也不能由()线性表示。(B) 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示。(C) 可由(I)线性表示，也可由()线性表示。(D) 可由(I)线性表示，但不可由()线性表示。(4) 设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则 ( )(A) (B)与有相同的特征值和特征向量.(C)与都相似于一个对角矩
3、阵. (D)对任意常数，与相似.(5) 设随机变量，且满足，则 等于( )(A) 0. (B) . (C) . (D) 1.三、(本题满分6分)曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数为，其中为正常数，且.假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程，其中试求:
4、在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件.七、(本题满分6分)设函数连续，且.已知，求的值.八、(本题满分7分)设函数在区间上连续，在内可导，且.试证：(1)存在，使； (2)对任意实数，必存在，使得.九、(本题满分9分)设矩阵，且.又设的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求及的值.十、(本题满分7分)设为实矩阵，为阶单位矩阵.已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布.记， (1) 求和的联合分布； (2) 求和的相关系数.十二、(本题满分7分)设是来自正态总体的简单随机样本，证明统计量服从自由度为2的分布.1999 年全国
5、硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】由题设可知.由分部积分法，得(2)【答案】4【详解】考虑幂级数，由可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为，则.记，两边从到积分，得所以 所以 (3) 【答案】【详解】，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有故有 或由，式子左右两端同右乘，得，即，得 或由，式子左右两端同右乘，得，式子左右两端再同乘，得，依次类推，得 所以 (4)【答案】 【概念和性质】(1) 独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；(2) 期望的性质：， (其中为常数)；(3) 方差的性质: ；
6、若独立，则(4) 正态分布标准化：若，则【详解】由题知：，且相互独立，故，其中 ，所以 所以 ，标准化得 则只需将中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：因 ，查标准正态分布表知 所以，解得. 因为整数，所以最小为16.(5)【答案】 【概念和性质】(1) ；(2)若独立，则有【详解】由行列式的定义知，行列式是由个元素的乘积组成的项和式，每一项都是个元素的乘积，这个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部项中每项都带有正号或负号.由于随机变量独立，所以有所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和. 即有而同分布，且所以 (行列式的性质：若行列式两行(列)成比例，则行列式为0).
7、二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，从而有即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以 ，解之得，所以，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可由向量组线性表示，即存在常数使得 (*)不能由线性表出，从而知（若，则，这和不能由线性表出
8、矛盾.）(*)可变为，上式两端同除能由()线性表示，排除(A)(D).不能由线性表示，若能，即存在常数使得，代入(*)得这和不能由线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法2：若取，则，即可由线性表出.假设存在常数，满足因为，即方程组的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数，满足，不能由线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，不能由()线性表示，若存在常数，满足因为，即方程组的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数，满足，故不能由()线性表示，但因为，即可由()线性表示，故应选(B).(4)【答案】(D)【详解】方法1：相似于，根据矩阵相似的定义，则存
9、在可逆阵，使得，则根据矩阵相似的定义，则相似于，应选(D).方法2：排除法(A) 不成立. 若，则，而已知只是相似.(B) 不成立. 与相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得，从而有(把代入) () (矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积) (矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故)从而，有相同特征多项式，故有相同的特征值.若，在的两边同时左乘，右乘，得，故，在上式两边左乘，得，根据特征值和特征向量的定义，的属于特征值的特征向量是，而的属于特征值的特征向量，它们并不相同.(C)不成立. 相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵. 例如，因存在可逆阵，使得，则根据矩阵相似的定义，知，但都不相似于对角阵
10、.若能相似于对角阵，即可相似对角化. 先求特征值，特征多项式为，令得的两个特征值0.若相似于对角阵，则存在可逆矩阵，使得，上式两端同时左乘，右乘，得，与矛盾，故不可相似对角化.若能相似于对角阵，即可相似对角化.先求特征值，特征多项式为，令得的两个特征值0. 若相似于对角阵，则存在可逆矩阵，使得，上式两端同时左乘，右乘，得，与矛盾，故不可相似对角化.(5)【答案】 ()【详解】给定和的概率分布，求和的联合分布，所给条件为，这就需要从这个条件入手. 由于事件包括事件：所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.根据，有所以有 而根据概率的非负性有：而 又根据边缘概
11、率的定义：( 通俗点说就是在求关于的边缘分布时，就把对应的所有都加起来，同理求关于的边缘分布时，就把对应的所有都加起来 )由 故 同理可得又 而由已知，所以得 故三【详解】曲线在曲线上点处的切线的斜率为，由直线的点斜式方程得切线方程 ，分别令得到与轴，轴的交点分别为与. 于是切线与轴和轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得.当切点按轴正项趋于无穷大时，这时，所以当切点按轴正项趋于无穷大时，这时，所以四【详解】O xD D1y2解法1：区域和如图所示，有显然 在极坐标系下，有因此于是 解法2：如图所示， 令，有，则 五【详解】设两种要素的总投入费用为，则由题意得，题目问产出量为12时，两要素
12、各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数在约束条件下的条件最值. 按格朗日数乘法，作函数，为求驻点求偏导并令其为零，即由前两式可得，解出代入第三个式子，得，因为驻点唯一，且实际问题在，的范围内存在最小值，故，时为最小.六【公式】形如 ，方程的通解为【详解】由于所求函数在和都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即 ，解得 ，其中为常数.化简得 由题设，其中，可知，解得所以有 又因为在内连续，所以即 解之得 故所求连续函数为 七【详解】中的变量是，故设法把“转移”到外，令，则，所以代入得 方法1：将等式两边对求导得 化简得 令得，化简得 方法2：引入的一个原函数，则于是 所以 ，
13、两边对求导，得 即 即 令得，八【详解】(1) 构造函数，则在区间上连续，在内可导，且，所以由介值定理得，存在一点，使得即存在一点，使得，原命题得证.(2) 令，解微分方程得 ，即 令 因为 ，所以，在上由罗尔定理知，必然存在点，使得即 即 九【详解】(1) 因为又由部分和数列有 因此 (2) 先估计的值，因为，令，则，即所以 所以 由于，所以收敛，从而也收敛.十【详解】方法1：，根据实对称矩阵的定义，故是实对称阵.对任意的非零向量，有因，故有.(设，则中至少一个不为零，则中至少一个大于零，故)(设，因为有可能为零，即有可能，故这里可能取等号.)故当时，.对任意的，均有由正定矩阵的定义，得证：是正定矩阵.方法2：正定的全部特征值大于零设有特征值，对应的特征向量为，由特征值和特征向量
