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1、 机械工程控制基础 第二章系统的数学模型 一 引言 数学模型 描述系统动态特性的数学表达式 时域数学模型 微分方程 连续系统 差分方程 离散系统 状态方程 复域数学模型 传递函数 连续系统 Z传递函数 离散系统 频域数学模型 频率特性 数学建模的一般方法 1 分析法 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模 2 实验法 根据实验数据整理拟合数模 连续系统的微分方程的一般形式 分别为系统输出和输入 为微分方程系数 若所有系数都不是输入 输出及其各阶导数的函数 则微分方程表示的系统为线性系统 否则 系统为非线性系统 对线性系统 若系数为常数则为线性定常系统 线性定常系统 线性时变系统 非线性系统 线性
2、系统的叠加原理 列写微分方程的一般方法 确定系统的输入量和输出量 注意 输入量包括给定输入量和扰动量 2 按信息传递顺序 从系统输入端出发 根据各变量所遵循的物理定律 列写系统中各环节的动态微分方程 注意 负载效应 非线性项的线性化 3 消除中间变量 得到只包含输入量和输出量的微分方程 4 整理微分方程 输出有关项放在方程左侧 输入有关项放在方程右侧 各阶导数项降阶排列 二 系统微分方程 质量 弹簧 阻尼 一 机械系统 电路元件两端电位差v21 二 电网络 电感 电阻 电容 两端相对速度v21 例1 图示机械系统m c k 列写微分方程 1 明确 2 牛顿第二定律列写原始微分方程 3 整理 系
3、统输入f t 系统输出x t 例2 图示电网络 列写微分方程 1 明确系统的输入与输出 输入u t 输出电量q 2 列写原始微分方程 3 消除中间变量 并整理 例3 列写微分方程 1 明确 输入T 输出x t 2 微分方程 3 消除中间变量f q 并整理 q0 例4 图示电网络 列写微分方程 1 明确系统的输入与输出 输入u1 输出u2 2 列写微分方程 3 消除中间变量i1 i2 并整理 例5直流电动机 1 明确输入与输出 输入ua和ML 输出w 2 列写原始微分方程 3 消除中间变量 并整理 电机的反电势ed反电势常数kd电磁力矩M电磁力矩常数km 得 设平衡点 设电动机处于平衡态 导数为
4、零 静态模型 当偏离平衡点时 有 则 增量化 即有 1 增量化方程与实际坐标方程形式相同 2 当平衡点为坐标原点时 二者等价 否则 二者不等价 线性化的条件 1 非线性函数是连续函数 即不是本质非线性 2 系统在预定工作点附近作小偏差运动 线性化的方法 1 确定预定工作点 2 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式 3 忽略高阶小项 4 表示成增量化方程的形式 非线性方程的线性化 例6液压伺服机构 1 明确输入x 输出y 2 列写原始微分方程 液压油流量 设 滑阀特性 3 非线性函数线性化 1 确定系统预定工作点 2 二元泰勒公式展开 已略去高阶小量 例6液压伺服机构 3 非线性函
5、数线性化 1 确定系统预定工作点 2 二元泰勒公式展开 3 增量方程 4 代入原方程 整理得 1 非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程 2 线性化的结果与系统的预定工作点有关 3 非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件 线性化特点 如 本例中 不同预定点的kq kc不同 三 相似系统 数学模型形式相同 组成系统的物理元件不同 相似系统 具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统 相似量 质量元件 弹簧元件 阻尼元件 电感元件 电阻元件 电容元件 四 系统传递函数 连续系统的微分方程的一般形式 在零初始条件下 对方程两边拉氏变换 得 传递函数 传递函数定义 零初始条件下 线性定常系统输出
6、的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 传递函数特点 1 传递函数是关于复变量s的复变函数 为复域数学模型 2 传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性 传递函数的分子反映系统与外界的联系 3 在零初始条件下 当输入确定时 系统的输出完全取决于系统的传递函数 4 物理性质不同的系统 可以具有相同的传递函数 相似系统 传递函数方框 零点 影响瞬态响应曲线的形状 不影响稳定性 极点 决定系统瞬态响应的收敛性 决定稳定性 放大系数 增益 设阶跃信号输入 对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点 极点 放大系数的研究 系统的稳态输出 传递函数的零极点模型 微分方程的特征根 例1 求图示系统的传递函数 1
7、 确定系统输入与输出 2 列写原始微分方程 3 在零初始条件下 进行拉氏变换 4 消除中间变量 并整理得 3 在零初始条件下 进行拉氏变换 5 传递函数 系统传递函数往往是高阶的 高阶传递函数可化为比例 惯性 积分 微分 振荡等低阶典型环节传递函数的组合 1 比例环节 动力学方程 传递函数 特点 输出量与输入量成正比 不失真 不延迟 例 输出正比于输入 五 典型环节传递函数 存在储能元件和耗能元件 阶跃输入时 输出经过一段时间才到稳态值 输出的导数与输出之和正比于输入 动力学方程 传递函数 特点 2 惯性环节 例1 例2 3 微分环节 动力学方程 传递函数 特点 一般不能单独存在 增加阻尼 强
8、化噪声 输出正比于输入的变化率 例1 微分运算电路 机械液压阻尼器 缓冲 减小偏移幅度 油缸力平衡 节流阀流量 例2 若T 1 4 积分环节 动力学方程 传递函数 若输入单位阶跃信号xi t 1 Xi s 1 s 特点 输出正比于输入的累积量 则输出为 1 输出反映输入量的累积 2 输出滞后于输入 经过时间T 输出才等于输入 3 输出具有记忆功能经过一段时间后 输入变为0 输出稳定不变 例1 例2 积分运算电路 式中 凡有储存或积累特点的元件 环节 系统都有积分特性 如 水库 植物 水垢 黄土高原 海洋盐分 5 振荡环节 无阻尼固有频率wn 时间常数T 1 wn 阻尼比x 1 0 x 1时 输
9、出振荡 2 x 1时 输出无振荡 不是振荡环节 且x越小 振荡越剧烈 3 振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件 特点 例1 例2旋转运动的J c k系统 例3L R C电路 6 延时环节 特点 输出滞后于输入 但不失真 延时环节与惯性环节和比例环节有区别 惯性环节 比例环节 延时环节 动力学方程 传递函数 例 轧钢厂钢板厚度检测 一个元件 几种环节作用几个元件 一个环节的作用 2 物理框图 说明物理过程和原理 框图中 元器件或零部件 典型环节传递函数小结 1 物理元件个数不一定等于系统的环节个数 3 同一物理元件在不同系统中 可能作用不同 其传递函数也不同 可能充当不同典型环节 传函框图
10、 表示信息传递关系框图中 各环节传递函数 六 系统传递函数方框图 传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示 并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形 传递函数方框图三要素 传递函数方框 相加点 分支点 建立传递函数方框图的步骤 1 列写各元件微分方程 2 在零初始条件下 对上述微分方程进行拉氏变换 3 按因果关系 绘制各环节框图 4 按信号流向 依次连接各环节框图左边输入 右边输出 反馈则 倒流 例1 1 列写微分方程 2 Laplace变换 3 局部传递函数框图 4 系统传递函数框图 1 列写微分方程 2 Laplace变换 例2 3 局部传递函数框图 4 系统传递函数框
11、图 变换前后输入输出间的数学关系保持不变 1 串联环节的等效规则 七 传递函数方框图的等效简化 2 并联环节的等效规则 3 反馈连接及其等效规则 前向通道传递函数 反馈通道传递函数 以反馈量B s 为输出的开环传递函数 闭环传递函数 反馈回路闭合后 3 反馈连接及其等效规则 特别地 若H s 1 则为单位反馈 注意 前向通道传递函数 反馈通道传递函数 开环传递函数均为局部传递函数 闭环传递函数才是系统传递函数 4 分支点的移动规则 5 相加点的移动规则 6 相邻相加点的移动规则 7 相邻分支点的移动规则 例1 简化步骤 消除交叉回路 对嵌套回路 从里到外逐步化简 例2 一条前向通道 各反馈回路
12、有公共传递函数方框G2 各反馈回路有公共传递函数方框G2 一般地 当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件 1 只有一条前向通道 2 各局部反馈回路中包含公共传递函数方框 则 系统传递函数可简化成 例3 八 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 只考虑给定输入时 只考虑干扰输入时 线性系统总的输出量 结论 1 闭环系统可抑制干扰的幅度 2 闭环系统输入 输出取法不同 则传函不同 但传函分母不变 系统总的输出量 极小值 而开环系统却不然 反映系统本身固有特性 例1已知RLC电路 确定电路的状态变量和状态方程 解 微分方程模型 选i和uc为状态变量 状态方程 一阶导形式 状态方程 矩阵形式 九 状态空间模型 状态方程 一阶导形式 状态方程 矩阵形式 输出方程 矩阵形式 状态向量 状态空间 由x1轴 x2轴 xn轴组成的n维空间 系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示 状态向量Y 输入量u n维状态向量X 输出向量Y 系统矩阵n n 控制矩阵n 1 输出矩阵1 n 传递矩阵1 1 微分方程 描述系统的数学模型 传递函数 状态空间 必有内在的一致性 必可相互转换 单位矩阵
