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1、小题专题练(四)立体几何1下列命题中,正确的是()A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D棱台各侧棱的延长线交于一点2已知a(2,1,3),b(1,2,1),若a(ab),则实数的值为()A2BC.D23.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()4若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()A43 B21 C53 D325已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n,
2、则l与所成的角为()A30 B60 C120 D1506某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.7在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,点D在棱BB1上,若BD3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A. B. C. D.8已知l,m,n为三条不重合的直线,为两个不同的平面,则()A若m,m,则B若lm,ln,m,n,则lC若l,m,ml,则mD若mn,m,则n9如图甲所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图乙水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图丙水平放置
3、时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为()A29 cm B30 cm C32 cm D48 cm10长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,BB1.设点A关于直线BD1的对称点为P,则P与C1两点之间的距离为()A1 B. C. D.11如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为_,几何体中最长棱的长是_第11题图第12题图12如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比为_,三棱锥PABC 的体积是_13已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为12,当正四棱柱的体积最大时
4、,正四棱柱的高为_14正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为_15如图,在正方形ABCD中,E,F分别为线段AD,BC上的点,ABE20,CDF30.将ABE绕直线BE、CDF绕直线CD各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB与直线DF所成角的最大值为_第15题图第16题图16如图,在四边形ABCD中,CDBD,ABD,ABBD4,CD2,现将BCD沿BD折起,当二面角ABDC的大小处于,的过程时,线段AC长度的最小值是_,最大值是_17已知ABC在平面内,ACB90,点P,PAPBP
5、C7,AB10,AC6,则点P到平面的距离等于_,PC与平面PAB所成角的正弦值为_小题专题练(四)1解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直,底面形状不定,故选项A,C都不够准确；选项B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故B不正确2解析：选D.由题意知a(ab)0,即a2ab0,所以1470,解得2.3解析：选C.如图,取DD1的中点F,连接AF,FC1,则过点A,E,C1的平面即为面AEC1F,所以剩余几何体的侧视图为选项C.4解析：选A.圆锥的侧面积12,圆锥的底面半径212,圆锥的底面积,圆锥的表面积侧面积底面积,所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为43.5解析：选A.由于cosm,n,所
6、以m,n120.所以直线l与所成的角为30.6解析：选B.由三视图得,该几何体是从四棱锥PABCD中挖去半个圆锥后剩余的部分,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,则所求几何体的体积V222122.7.解析：选B.如图,可得()421252cos (为与的夹角),所以cos ,sin ,tan ,又因为BE平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.8解析：选A.由l,m,n为三条不重合的直线,为两个不同的平面知,在A中,若m,m,则由面面平行的判定定理得,故A正确；在B中,若lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故B错误；在C中,若l,m,ml,则m与相交,故
7、C错误；在D中,若mn,m,则n或n,故D错误故选A.9解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h,图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x,图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y,则所以h29.10.解析：选A.将长方体中含有ABD1的平面取出,过点A作AMBD1,延长AM,使MPAM,则P是A关于BD1的对称点,如图所示,过P作PEBC1,垂足为E,依题意AB1,AD1,BD12,ABD160,BAM30,PBE30,PE,BE,所以PC11,故选A.11解析：由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥MA1B1N,如图所示,M是棱AB上靠近点A的一个三等分点,
8、N是棱C1D1的中点,所以VMA1B1N222.又A1B12,A1NB1N,A1M,B1M,MN,所以该几何体中最长棱的长是.答案：12解析：作三棱锥PABC的正视图时,点A的正投影是D,点P的正投影在C1D1上,因此三棱锥PABC正视图的面积S正12,作三棱锥PABC的侧视图时,点A的正投影是B,点P的正投影在C1B1上,因此三棱锥PABC的侧视图的面积S侧12,故S正S侧11,三棱锥PABC的体积VSABCAA1.答案：1113解析：设正四棱柱的底面边长为a,高为h,球的半径为r,由题意知4r212,所以r23,又2a2h2(2r)212,所以a26,所以正四棱柱的体积Va2hh,则V6h
9、2,由V0,得0h2,由V2,所以当h2时,正四棱柱的体积最大,Vmax8.答案：214解析：如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,使得DT,因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N,故NT21,因为M为CC1的中点,故CM1,连接TC,由NTCM,且CMNT1,知四边形CMNT为平行四边形,故CTMN,同理在AA1上靠近A处取一点Q,使得AQ,连接BQ,TQ,则有BQCTMN,故BQ与MN共面,即Q与Q重合,故AQ.答案：15解析：AB不动,因为ABCD,故无论直线DF运动到哪里,其与CD的夹角不变,与AB的夹角也不变为30.若DF不动,AB转动,两者的夹角在旋转过程中先变小再
10、变大,大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时,若DF不动,可计算出两者的夹角是10,若DF转动同一平面的另一边,此时两线的夹角为70,取到最大值因此,本题正确答案是70.答案：7016.解析：设二面角ABDC的平面角为,如图,取BD的中点E,连接AE,则AE2.因为,所以2222222124400222cos()208cos ,因为,所以cos ,所以28,32,故线段AC长度的取值范围是2,4答案：2417.解析：如图所示,取AB的中点D,连接PD,CD,因为PAPB,所以PDAB,又ABC为直角三角形,所以ADCD,又PAPC,所以APDCPD,所以CDPADP90,所以PDDC.又ABDCD,则PD,PD为点P到平面的距离,又PA7,AB10,所以AD5,PD2.法一：设点C到平面PAB的距离为d,PC与平面PAB所成角的大小为,由VPABCVCPAB得PDSABCdSPAB,即268d102,所以d.故sin .法二：过点C作CEAB于点E,连接PE,因为PD,PD平面PAB,所以平面PAB平面ABC,又CE平面ABC,平面ABC平面PABAB,所以CE平面PAB,则CPE为PC与平面PAB所成的角,在RtABC中,易得CE,所以sin CPE.答案：2
