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1、武汉中考 圆重、难点突破第 1 页 共 8 页EFDOAB C前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。第 1 个问题 内心、外心知多少【2013 元调 第 10 题】如图，点 I 和 O 分别是ABC 的内心和外心，则AIB 和AOB 的关系为（ ）A、 B、BAIOBC、 D、1280IA 1280I分析：外心：圆在三角形外，经过三角形 3 个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到 3 个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。AIB 和AOB 都与 C 有
2、关系，AOB=2C，AIB=180 （IAB+ IBA ）=180 （A+B）=180 （180-C）=90+ C121212外心和内心的考查很频繁外心考查重点：圆周角与圆心角的转换，如 2013 中考第 22 题如图，ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则BEC=BOD直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013 中考第 25 题）内心的考查更灵活：常考角度、面积（1） 11190,90,90222BOCABOCAOB（2） ，a、b、c 为三边长，r 是内切圆的半径()SrA当 时，四边形 ADOF 为正方形，90 2abcrOICA BOCABIABC DBOCAE武汉中
3、考 圆重、难点突破第 2 页 共 8 页【例题 1】如图， AB 是O 的直径，点 P 为半圆上一点（不与 A、B 重合） ，点 I 为ABP 的内心，连接 PI 交O 于点 M，I NBP 于 N，下列结论： APM=45；AB= IM；BIM= BAP；2 = ；其中正确的个数有 _ PBI2A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个分析：题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于 180 度，则ABP 是直角三角形I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线则 PI 平分 ，所以APM=45。APB圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注
4、意弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里 ，则 AM=BMAPMB则AMB 为等腰直角三角形，AM=BM ，AB= AM2欲证 AB= IM，则证 IM=AM 或 IM=BM 即可。令 ，则2Ix（内心性质、外角等于不相邻 2 内角之和）45,45IAMxIx对于BIM= BAP 这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别，若 P 在 中点处，显然BIM=BAP 不成立B式子看起来很复杂，看见 联系等腰直角三角形。本题的主线是2内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点 M 作 AP、BP边的垂线，易证 PCMD 为正方形。AB=2OB，则 IM=AM= AB，2而 AB=2OB
5、，所以 IM= OB，又 PI= IN，所以22PM= （IN+OB） ，证毕2【例题 2】 （2013 黄冈一模）如图，ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个若 O 是ABC 的外心，A=50，则BOC=100；若 O 是ABC 的，A=50 ，则 BOC=115；若 BC=6，AB+AC=10，则ABC 的面积的最大值是 12；ABC 的面积是 12，周长是 16，则其内切圆的半径是 1；4545x NIMA BP45x NIMA BPC DNIMAOBP武汉中考 圆重、难点突破第 3 页 共 8 页A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个分析：第 1 和第 2 个结论是正确，第
6、4 个结论是错误的，不解释；第 3 个结论，有一定难度方法 1：勾股定理由图知：底边 BC 一定，则 AE 最大时，ABC 的面积的最大令 AB=a，BE=b ，则 AC=10 a，CE=6 b由于 ，则 ，解得 22ABEC222-(10-)(6ab3165ab因为 不用具体算出来，当 b=3 时，有最大值2 2223169-()(b3)555ab即 取最大，此时ABC 为等腰三角形，易知 AB=5，BD=3 ，AE=42D方法 2：海伦秦九韶公式，如果你记得住的话： ()(),2abcSPpabpc令 AB= ，则 AC=10 ，由题知 P=8，则xx（也可以用配方法）828(6)(2)4
7、(8)241xSx【训练题】1、如图，O 是ABC 的，过点 O 作 EFAB，与 AC、BC 分别交 E、F，则（）A、 EF AE+BF B、 EF AE+BF C、 EF=AE+BF D、 EFAE+BF2、已知，如图，点 E 是ABC 的内心，延长 AE 交ABC的外接圆于点 D，连接 BD、DC 、EC ，则图中与 BD 相等的线段分别是_EDOAB CDEBCA武汉中考 圆重、难点突破第 4 页 共 8 页3、如图，ABC 中，AB=AC，A=40，延长 AC 到 D，使 CD=BC，点 P 是ABD 的内心，则BPC=_4、如图，在矩形 ABCD 中，连接 AC，如果 O 为AB
8、C 的内心，过 O 作 OEAD 于 E，作 OFCD于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为_5、如图，RtABC 中，ACB=90，点 O、I 分别为ABC 的外心和内心，AC=6 ，BC=8 ，则 OI的值为_ IOCB APDCABFEODAB C武汉中考 圆重、难点突破第 5 页 共 8 页6、如图，ABC 内接于O，I 是其内心，且 AIOI。若 AC=9，BC=7，则 AB=_7、如图，半径为 2cm，圆心角为 90的扇形 OAB 的 上有一运动的点 P，从点 P 向半径 OA 引垂线ABPH 交 OA 于点 H，设OPH 的内心为 I，那么当点 P 在
9、上从点 A 运动到点 B 时，I 所经过的路径长为_8、如图，等腰ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，过 B 点的切线交 OE 的延长线于点 F，连结 FD，则下列结论： ；FD 是O 的切线；ABC= DFB； E 为BDF 的内心。 其中一定成立的个数有 _。A 、 B、 C、 D、提示：角的转换要灵活9、如图，BC 是 O 的直径，半径为 R，A 为半圆上一点，I 为ABC 的内心，延长 AI 交 BC 于 D 点，FEDOBCAIOABCIHBA OP武汉中考 圆重、难点突破第 6 页 共 8 页交0 于点 E，作 IFBC，连接 AO，
10、BI。下列结论：AB+AC=BC+2IF；4AIB-BOA=360；EB=EI； 为定值，其中正确的结论有（）IFRAA、 B、 C、 D、 提示：参考例 1 解法10、如图，O 是ABC 的外接圆，BC 是直径，I 为ABC 的内心， AD、BE、CF 都经过 I 点分别交O 于点 D、E、F ， IMBC 于 M。则下列结论：EF AD； ；2ABCA ，其 中 正 确 的 是 _12()AIBC提示：是对的11、下列列说法：FDE ICOABMEIFDBOCA武汉中考 圆重、难点突破第 7 页 共 8 页如图 1，扇形 OAB 的圆心角 AOB=90，OA=6 ，点 C 是 上异于 A、
11、B 的动点，过点 C 作CDOA 于 D，作 CEOB 于 E，连接 DE，点 G 在线段 DE 上，且 DG DE，连接 CG。当点 C13在 上运动时，在 CD、CG、DG 中，长度不变的是 DG；AB如图 2，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，O 的半径为 2，圆心 O 在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点 A 于点 H 重合，且 EH 切O 于点 H，延长 FH 交 CD 边于点 G，则 HG 的长为；193已知 RtABC 中，C=90 ，AC=3cm，BC=4cm，则其内心和外心之间的距离是 cm；5其中正确的有_（请写序号，少选，错选均不得分）图 2GHCDBAFE
12、C BA武汉中考 圆重、难点突破第 8 页 共 8 页12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点 D 是直线 上一点，过 O、D 两点的圆 分别交yx1轴、 轴于点 A 和 B。xy（1）当 A（-12，0） ，B（0，-5）时，求 的坐标；1O（2）在（1）的条件下，过点 A 作 的切线与 BD 的延长线相交于点 C，求点 C 的坐标；（3）若点 D 的横坐标为 ，点 I 为ABO 的内心，IEAB 于 E，当过 O、D 两点的 的大小发生72 1变化时，其结论： 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；EB yxy=-xDO1 BA O yxy=-xCDO1 BA O yxEIDO1 BA O
