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1、2017年复旦大学信息科学与工程学院720量子力学考研题库一、填空题1 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_、_、_。 【答案】连续性；有限性；单值性 2为氢原子的波函数（不考虑自旋），【答案】主；角；磁；3 粒子的波函数为【答案】 写出粒子位于间的几率的表达式_。分别称为_量子数、_量子数、_量子数，它们的取值范分别为_、_、_。 4 自旋为_的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_, 自旋为_的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_。 【答案】的奇数倍；反对称变换的整数倍；对称变换 5 描述微观粒子运动状态的量子数有_; 具有相
2、同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_个。【答案】 6 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_和在该点扰到粒子的_成正比。 【答案】强度；几率二、简答题7 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。8 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符
3、？【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。 9 个量子体系处于定态的条件是什么？【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。10已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。11现有三种能级【答案】请分别指出他们对应的是哪些系统。对应一维无限深势阱；对应对应中心库仑势系统，例如氢原子；一维谐振子12能级的简并度指的是什么？【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。13
4、电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】利用的几率密度；表示粒子在如何归一化？解释各项的几率意义。进行归一化，其中：处的几率密度。表示粒子在|处 14试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。三、计算题15质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的分别是基态和第一激发态.是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概【答案】（a ）如图建立坐标系， 图设波函数当当令哈密顿算符满足薛定谔方程时，时，则 的通解可表示为 利用边界条件由归一化可解得得，定态薛定谔方程的解为 对应的定态能量为（b ）当粒子处于态几率1/4 ;几率3/4 时，能量的可能值及几率为： （c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式其中故任意时刻t 的波函数其中16分别在【答案】（1）在 令 在此题中 表象中，求出表象中的矩阵表示，并求出由表象到知表象的变换矩阵。的本征值为1，故：应为对角矩阵，对角元为的本征值，由因是厄米算符，有所以即a 、d 为实数，一、填空题考研试题
