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1、授 课 目 录 第1章 导 论第2章 统计资料的整理与描述第3章 机率导论第4章 常用的机率分配与统计分布第5章 描样方法与描样分布第6章 统计估计第7章 统计检定第8章 变异数分析第9章 相关分析与回归模式第10章 无母数统计检定第11章 类别数据分析-列联表与卡方检定第八章 變異數分析一般统计检定系讨论两个常态母体下检定平均值的方法。倘对k个常态母体，欲检定其平均值是否一致时，采逐一比对程序检定则效率差且会增型 I 误差的机率。变异数分析ANOVA(Analysis of Variance)的主要观念即利用各组数据平均值的差异与各组数据整体之间差异做比较，来检定平均值是否相同的方法。ANO
2、VA可对k个母体检定其平均值是否一致。ANOVA即将一组数据的总变异，依其变异来源分割成数区，然后针对其各区内变异与各区间变异加以探讨分析。ANOVA依据因子的数目-One-way ANOVA，Two-way ANOVA。8.1 实验设计与ANOVA 十九世纪初，英国为了改良农作物的质量与产量，由Ronald A. Fisher爵士首先提出应用ANOVA于实验设计(DOE, Design of Experiment)中。实验的目的是将不同的处理(Treatment)，指定给不同的实验单位(Unit)，以便观察其结果好坏。過程輸入x輸出y可控因子x不可控因子z 实验的目的是将不同的处理，指予不同
3、的实验单位，以便观察其结果好坏。其包括下列几点：1、决定何者变量x对反应y最具影响力。2、决定这些最具影响力变量x的值，使反应y几乎永远都是在所想要的目标值(Nominal Value) 的附近。3、决定这些最具影响力变量x的值使反应y变异较小。4、决定这些最具影响力变量x的值使得不可控变量z的影响极小。 以一般实验设计方法分为二大类：完全随机设计(Completely Randomized Design)与集区随机设计(Randomized Block Design)，以增处理效果的可信度。1、 完全随机设计系在考虑一个因子的情况下，有n1 , n2 , ,nk个实验单位分别指定到k个处理上
4、。这些实验单位的实验顺序是随机决定的。完全随机设计因为只考虑一个因子，故亦称一因变异数分析(One-way ANOVA)。可中和其他因子对实验的影响。2、 集区随机设计系事先将实验对象划分成若干同构型的集区，即在每个集区内涵具同构型环境下，进行不同实验处理。实验设计亦可以一函数表示之：y = f(x1 , x2 , ,xk)(8.1)式中：输入x-可控因子(变量)(Control Factors (Variables)，输出y-依变量(Dependent Variable)，過程輸入x輸出y可控因子x不可控因子z8.2 一因子变异数分析(The One-way ANOVA)倘工管系欲采三种工厂
5、实习课程：(1)电视教学 (2)讲师讲习 (3)实地观摩，研究其对学生学习效果是否有不同的影响。此3种实习课程称之处理(Treatment)。于是将实习生随机分成3组，分别施以不同实习课程。兹随机抽样21位实习生进行分组，第1组有7位，第2组有8位，第3组有6位。此n1 = 7 , n2 = 8 , n3 = 6称之实验单位(Unit)。本研究仅以工厂实习课程此一因子(Factor)来对母体作分类探讨，故此称之一因子变异数分析。典型资料如下：处理(水平)Treatment(Level)观测值(Observations)总和(Totals)平均值(Average)1 y11 y12 y1ny12
6、y21 y22 y2ny2.aya1 ya2 y1nyayN = anyij : 第i个处理、第j个观测值一因子变异数分析是根据变异来源：组内、组间、与总变异等统计量，建立变异数分析表(ANOVA Table)，以进行检定工作。变异来源平方和SS自由度df均方和MSF因子(组间)SSTa-1MST=SST/(a-1)MST/MSE随机(组内)SSEN-aMSE=SSE/(N-a)总和SSN-1MS=SS/(N-1)其中：总变异(Total Sum of Squared Deviation)SS = = SST+SSE(8.2)组间变异(Treatment Sum of Squares) (Be
7、tween Treatment)SST = (8.3)组内变异(Error Sum of Squares) (Within Treatment)SSE = (8.4)简化之：SS = ； SST = SSE = SS SST(8.5)一因子变异数分析的统计假设为 H0: m1= m2 =. = mk ；即因子对依变量无影响。H1: mi 不全等；即因子对依变量有影响。上述的假设中， m1 , m2 ,. , mk分别为k个因子水平所造成的效果。若H0为真，即表示k个效果不存在，因子对依变量无影响。检定统计式：F = MST/MSE(8.6)若各组样本均来自常态分布，则检定统计量为一F分布。在显
8、著水平a下，倘F Fa, a-1, N-a Accept H0F Fa, a-1, N-a Reject H0各组样本数相等范例、随机抽取IDF、F16、与幻象2000等三种战机各10架，测其速度，这三种战机的平均速度有差异?SOL：(1)建立统计假设H0: m1= m2 = m3 ； H1: mi 不全等(2) 显著水平a = 0.05IDFF162000单因子变异数分析2.251.992.782.122.482.64摘要1.892.512.98组个数总和平均变异数1.932.082.84IDF1020.952.0950.03572.432.313.01F161022.062.2060.05
9、931.872.272.7220001028.322.8320.01532.041.842.852.111.992.692.322.082.89ANOVA1.992.512.92变源SSdfMSFP-值组间3.15788721.57894342.9384.1E-09组内0.99285270.036772临界值3.354131总和4.15073729F(=42.94)值远大于临界值(=3.35)，且P-值为4.1E-09远小于显著水平0.05Reject H0 即至少有二种战机(母体)的平均速度是有差异的。各组样本数不等范例、工管系欲采三种工厂实习课程：(1)电视教学 (2)讲师讲习 (3)实地
10、观摩，其对学习效果是否有不同的影响? SOL：(1)建立统计假设H0: m1= m2 = m3 ； H1: mi 不全等(2) 显著水平a = 0.05电视教学讲师讲习实地观摩单因子变异数分析707682838580摘要888075组个数总和平均变异数929089电视教学75888455858570讲师讲习86888634808872实地观摩64687850909094ANOVA变源SS自由度MSFP-值组间228.95242114.47622.5190360.108502组内8181845.44444临界值3.554561总和1046.95220F(=2.52)值小于临界值(=3.55)，且
11、P-值为0.1085大于显著水平0.05Accept H0 三种工厂实习课程对学生学习效果无差异的。8.3 集区随机设计(The Randomized Block Design)在任何实验中，扰动因子(Nuisance Factor)引起的变异对其结果会有影响。扰动因子之定义： 一设计因子，其对反应有效果而实验者却对此效果无兴趣。未知且无法控制(Unknown and Uncontrolled)的扰动因子：不知其存在及实验进行时可能改变水平。随机化是一种设计技巧用来防范此潜伏的扰动因子。然而，已知但不可控制(Known but Uncontrollable)的扰动因子，倘于每次实验时会观测到此
12、的扰动因子之值，则于ANOVA时其会被补偿。如扰动变异来源是已知且可控制(Known and Controllable)时，集区划分(Blocking)之设计将可系统化地消除其对处理间统计比较的影响。上节叙述一因子变异数分析，且完全随机设计，藉此中和或消弭一些非特定因子(不是我们想知道的重点)对依变量(输出y)所造成的影响。但某些情况下，非特定因子对依变量的干扰过大，甚至完全随机设计亦无法消弭这些干扰。此时依变量不只受到特定因子的影响，亦受到非特定因子的影响。倘致远管理学院欲对6个学系有开统计学课程，采4种不同教学方式，以研究统计学对各系学生学习效果是否有不同的影响。此时，学生学习效果为依变量(输出y)，教学方式为特定因子，但学生学习效果却不只受到教学方式的影响，而受到各学系的影响，因为各学系各具不同的特性。若用上节的检定方式，会将各系所导致的影响计入SSE中，而使得SSE膨胀起来，因而影响结论的正确性。如欲评鉴各系学生学习统计学的效果，则各系学生学习成绩形成一个集区(Block)。因此总变异的分解为：SS(总变异) = SST(组间变异) + SSB(集区变异)+ SSE(随机误差)Block 1Block 2.Block by11y12y1by21y22y2by31y32.y3b.ya1ya2yab变异来源平方和SS自由度df均方和MSF因子(组间)SST
