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1、1 天津市 2019 年高考文科数学试题及答案 试卷满分150 分 考试时间120 分钟 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上 并将条形码 准确粘贴在条形码区域内 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无 效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 注意事项 1 每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 2 本卷共8 小题 每小题 5 分 共 4
2、0 分 参考公式 如果事件A B 互斥 那么 P ABP AP B 圆柱的体积公式VSh 其中S表示圆柱的底面面积 h表示圆柱的高 棱锥的体积公式 1 3 VSh 其中S表示棱锥的底面面积 h表示棱锥的高 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 1 1 2 3 5 2 3 4 13 ABCxxR 则 ACB A 2 B 2 3 C 1 2 3 D 1 2 3 4 2 设变量 x y 满足约束条件 20 20 1 1 xy xy x y 则目标函数4zxy的最大值为 A 2 B 3 C 5 D 6 3 设xR 则 0 5x 是 1 1x 的 A 充分而不必要条
3、件 2 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 阅读下边的程序框图 运行相应的程序 输出S的值为 A 5 B 8 C 24 D 29 5 已知 0 2 23 log 7 log 8 0 3abc 则 a b c 的大小关系为 A cba B abc c bca D cab 6 已知抛物线 2 4yx的焦点为F 准线为 l 若 l 与双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两条渐近线分 别交于点 A 和点 B 且 4 ABOF O 为原点 则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 7 已知函数 sin 0 0 f xAxA是奇函数 且fx的最小正周
4、期为 将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍 纵坐标不变 所得图象对应的函数为 3 g x 若 2 4 g 则 3 8 f A 2 B 2 C 2 D 2 8 已知函数 2 01 1 1 xx f x x x 若关于x 的方程 1 4 fxxa aR恰有两个互异的实 数解 则 a 的取值范围为 A 5 9 4 4 B 5 9 4 4 C 5 9 1 4 4 D 5 9 1 4 4 第 卷 注意事项 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2 本卷共12 小题 共110 分 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 i 是虚数单位 则 5i 1i 的值为
5、10 设xR 使不等式 2 320 xx 成立的 x 的取值范围为 11 曲线cos 2 x yx在点 0 1 处的切线方程为 12 已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形 侧棱长均为 5 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥 四条侧棱的中点 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心 则该圆柱的体积为 13 设0 0 24xyxy 则 1 21 xy xy 的最小值为 14 在四边形ABCD中 2 3 5 30ADBCABADA 点 E 在线段CB的延长 线上 且 AEBE 则 BD AE 三 解答题 本大题共6 小题 共80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分13 分 201
6、9 年 我国施行个人所得税专项附加扣除办法 涉及子女教育 继续教育 大病医疗 住房 贷款利息或者住房租金 赡养老人等六项专项附加扣除 某单位老 中 青员工分别有 4 72 108 120人 现采用分层抽样的方法 从该单位上述员工中抽取25 人调查专项附加扣除的 享受情况 应从老 中 青员工中分别抽取多少人 抽取的 25 人中 享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人 分别记为 A BCDE F 享受情况如下表 其中 表示享受 表示不享受 现从这 6 人中随机抽取2 人接受采访 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 i 试用所给字母列举
7、出所有可能的抽取结果 ii 设 M 为事件 抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同 求事件M 发生的概率 16 本小题满分13 分 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知2bca 3 sin4 sincBaC 求cosB的值 求sin 2 6 B的值 17 本小题满分13 分 如图 在四棱锥PABCD中 底面ABCD为平行四边形 PCD 为等边三角形 平面PAC 平面PCD 2 3PACD CDAD 5 设 G H 分别为 PB AC 的中点 求证 GH 平面PAD 求证 PA 平面PCD 求直线AD 与平面PAC所成角的正弦值 18 本小题满分13 分 设 n
8、 a是等差数列 n b是等比数列 公比大于0 已知 112332 3 43abbaba 求 n a 和 n b 的通项公式 设数列 n c满足 2 1 n n n c bn 为奇数 为偶数 求 1 12222 nn a ca ca cnN 19 本小题满分14分 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 左顶点为A 上顶点为B 已知3 2 OAOB O 为原点 求椭圆的离心率 设经过点F 且斜率为 3 4 的直线 l 与椭圆在x 轴上方的交点为P 圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切 圆心C 在直线 x 4 上 且OCAP 求椭圆的方程 20 本小题满分14 分 设函数 l
9、n 1 e x fxxa x 其中aR 若 a 0 讨论 f x 的单调性 若 1 0 e a i 证明 f x恰有两个零点 ii 设 0 x为 f x的极值点 1 x为 f x 的零点 且10 xx 证明01 32xx 6 参考答案 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分40 分 1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分30 分 9 1310 2 1 3 11 2 2 0 xy12 4 13 9 2 14 1 三 解答题 15 由已知 老 中 青员工人数之比为6 9 10 由于采用分层抽
10、样的方法从中抽取 25 位员工 因此应从老 中 青员工中分别抽取6 人 9 人 10 人 i 从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为 A BA CA DA EA FB C B DB EB FC DC E C F D ED FE F 共 15 种 ii 由表格知 符合题意的所有可能结果为 A BA DA EA FB DBCEB FEC FD FE F 共 11 种 所以 事件M 发生的概率 11 15 P M 16 解 在ABC 中 由正弦定理 sinsin bc BC 得sinsinbCcB 又由 3 sin4 sincBaC 得3 s i n4 s i nbCaC 即34ba 又因为
11、2bca 得到 4 3 ba 2 3 ca 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa 解 由 可得 215 sin1cos 4 BB 从而 15 sin 22sincos 8 BBB 227 cos2cossin 8 BBB 故 153713 57 sin 2sin2coscos2sin 666828216 BBB 7 17 证明 连接BD 易知ACBDH BHDH 又由BG PG 故GH PD 又 因为GH平面 PAD PD平面 PAD 所以GH 平面 PAD 证明 取棱 PC 的中点 N 连接 DN 依题意 得 DN PC
12、又因为平面PAC平面 PCD 平面PAC平面PCD PC 所以DN 平面 PAC 又 PA 平面 PAC 故DN PA 又已 知PA CD CDDND 所以PA 平面 PCD 解 连接AN 由 中DN平面 PAC 可知DAN为直线 AD与平面 PAC 所成的 角 因为 PCD 为等边三角形 CD 2 且 N 为 PC 的中点 所以 3DN 又 DNAN 在Rt AND 中 3 sin 3 DN DAN AD 所以 直线AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 18 解 设等差数列 n a的公差为d 等比数列 n b的公比为q 依题意 得 2 332 3154 qd qd 解得 3 3 d
13、 q 故 1 33 1 3 3 33 nn nn annb 所以 n a的通项公式为3 n an n b的通项公式为3 n n b 解 1 12222nn a ca ca c 135212 142632nnn aaaaa ba ba ba b 8 123 1 36 6312318363 2 n n n nn 212 36 1 32 33 n nn 记 12 1 3233 n n Tn 则 231 31 32 33 n n Tn 得 1 2311 3 1 3 21 33 23 3333 1 3 32 n n nnn n n Tnn 所以 1 22 1 12222 21 33 3633 2 n n
14、nn n a ca ca cnTn 22 21 369 2 n nn nN 19 解 设 椭 圆 的 半 焦 距 为c 由 已 知 有 32ab 又 由 222 abc 消 去 b 得 2 22 3 2 aac 解得 1 2 c a 所以 椭圆的离心率为 1 2 解 由 知 2 3ac bc 故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc 由题意 0 Fc 则直线l的方程为 3 4 yxc 点P 的坐标满足 22 22 1 43 3 4 xy cc yxc 消去 y并化简 得 到 22 76130 xcxc 解得 12 13 7 c xc x 代入到l的方程 解得 12 39 214 yc y
15、c 因为 点P在x轴上方 所以 3 2 P cc 由圆心C在直线4x上 可设 4 Ct 因为OCAP 且 由 知 2 0 Ac 故 3 2 42 c t cc 解得2t 因为圆C与x轴相切 所以圆的半径长为 9 2 又由圆C与l相切 得 2 3 4 2 4 2 3 1 4 c 可得 2c 所以 椭圆的方程为 22 1 1612 xy 20 解 由已知 f x的定义域为 0 且 2 11e e 1 e x xx f ax xaa x xx 因此当 a 0 时 2 1e0 x ax 从而 0fx 所以 f x 在 0 内单调递增 证明 i 由 知 2 1e x ax fx x 令 2 1e x g
16、 xax 由 1 0 e a 可知 g x在 0 内单调递减 又 1 1e0ga 且 22 1111 ln1ln1ln0ga aaaa 故 0g x 在 0 内有唯一解 从而 0fx 在 0 内有唯一解 不妨设为 0 x 则 0 1 1lnx a 当 0 0 xx 时 0 0 g xg x fx xx 所以 f x在00 x内单调递增 当 0 xx时 0 0 g xg x fx xx 所以 f x在 0 x内单调递减 因此 0 x是 f x的唯一极值点 令 ln1h xxx 则当1x时 1 10h x x 故 h x 在 1 内单调递减 从而 当1x时 1 0h xh 所以ln1xx 从而 ln 1 111111 lnln lnln1 eln lnln1ln0 a fah aaaaaa 又因为 0 1 0fxf 所以 f x 在0 x 内有唯零点 又 fx 在00 x内有唯一零点 1 从而 f x在 0 内恰有两个零点 10 ii 由题意 0 1 0 0 fx fx 即 0 1 2 0 11 e1 lne 1 x x ax xa x 从而 101 12 0 1 lne xxx x x
