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1、课后限时集训56圆锥曲线中的定点与定值问题建议用时：45分钟1(2019威海模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t,2)为C上一点,M,N是C上异于点T的两点,且满足直线TM和直线TN的斜率之和为,证明直线MN过定点,并求出定点的坐标解(1)设Q(x0,4),由抛物线的定义,得|QF|x0,又|QF|2|PQ|,2x0x0,解得x0,将点Q代入抛物线C的方程,得p4.(2)由(1)知抛物线C的方程为y28x,点T的坐标为,设直线MN的方程为xmyn,点M,N,由得y28my8n0
2、,y1y28m,y1y28n,kMTkNT,解得nm1,直线MN的方程为x1m(y1),过定点(1,1)2(2019郑州模拟)已知F是抛物线C：x22py(p0)的焦点,点M是抛物线上的定点,且(4,0)(1)求抛物线C的方程(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|x2x1|3,直线l与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问ABN的面积是否为定值若是,求出这个定值；若不是,请说明理由解(1)设M(x0,y0),由题知F,所以(4,0),所以则将其代入x22py(p0)中,得16p2,解得p4或p4(舍去),所以抛物线C的方程为x28y.(2)由题
3、意知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为ykxb.联立整理得x28kx8b0,则x1x28k,x1x28b,所以y1y2k(x1x2)2b8k22b,设AB的中点为Q,则点Q的坐标为(4k,4k2b),由条件设切线的方程为ykxt(tb),联立整理得x28kx8t0.因为直线l与抛物线C相切,所以64k232t0,所以t2k2.则x28kx16k20,解得x4k,所以y2k2.所以切点N的坐标为(4k,2k2)又点Q的坐标为(4k,4k2b)所以NQx轴,所以|NQ|4k2b2k22k2b,因为|x2x1|3,(x2x1)2(x2x1)24x1x264k232b,所以2k2b.所以SABN
4、|NQ|x2x1|(2k2b)|x2x1|,所以ABN的面积为定值,且定值为.3(2019黄山模拟)椭圆C：1(ab0)的两个焦点F1(c,0),F2(c,0),设P,Q分别是椭圆C的上、下顶点,且四边形PF1QF2的面积为2,其内切圆周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)当bc时,A,B为椭圆C上的动点,且PAPB,试问：直线AB是否恒过一定点？若是,求出此定点的坐标；若不是,请说明理由解(1)依题意,四边形PF1QF2的面积为2,则4bc2,即bc,四边形PF1QF2的内切圆周长为,设内切圆半径为r.由2r,得r,由bcar,得a2,又a2b2c24,且bc,所以或所以椭圆C的方程为1或y21.(2)因为bc,所以椭圆C的方程为1,则P(0,)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为ykxm,联立消去y,得(4k23)x28kmx4m2120,则x1x2,x1x2,64k2m24(4k23)(4m212)0(*),由PAPB,可得0,即(x10)(x20)(y1)(y2)0,即x1x2y1y2(y1y2)30,又y1kx1m,y2kx2m,所以m22m30,整理得0,解得m(舍去)或m.因为m满足(*)式,所以直线AB的方程为ykx.故直线AB恒过定点.- 3 -
