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1、2017年下学期期末考试试卷高三数学（文科）第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,故,故选A.2. 已知复数满足：，且的实部为2，则（ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】,即,故.故选B.3. 设函数 ，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的定义域为,故,所以选B.4. 在某次高中数学竞赛中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分别为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【
2、答案】D【解析】经计算得平均值,众数为,中位数为,故,选.5. 设点是双曲线上一点，则（ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由于,所以,故,由于,解得,故选C.6. 执行下边的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】,判断是,判断是,判断否,输出,故选B.7. 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低
3、分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）A. 1只 B. 只 C. 只 D. 2只【答案】C【解析】依题意设,即,解得.故选C.8. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为4B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】,故,由图象可知.故由于故最小正周期不为,排除A选项.将代入验证可知B选项错误.将点代入验证可知C选项正确.故选C.9. 若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
4、】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故.故选D.10. 某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 54 B. 45 C. 27 D. 81【答案】B【解析】画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,故选B.【点睛】本小题主要考查三视图,考查由三视图还原为原图并求原图的体积. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 11. 若抛物线：上一点到焦点的距离为5，
5、以为圆心且过点的圆与轴交于，两点，则（ ）A. 4 B. 6 C. D. 8【答案】B【解析】由于到焦点的距离为,故到准线的距离也是,故,代入抛物线得,解得,不妨设,故圆心为,半径为,圆的方程为,令,解得,故.故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查抛物线的几何图形中,考查圆的方程的求法与圆的弦长公式的知识.在抛物线有关的性质中,最重要的就是抛物线的定义,即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,这个往往是解题的关键所在,在有关抛物线的问题中,可以首先考虑这一个性质.12. 在四面体中，底面，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则（ ）A. B. 2 C. D. 【
6、答案】B【解析】，设的外心为O，则在上，设，则即，解得四面体的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 在矩形中，则_【答案】10【解析】,.14. 设，满足约束条件，则的最小值为_【答案】-3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.【点睛】本小题主要考查二元一
7、次不等式组线性规划的知识. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域.15. 设数列是等比数列，且，则数列的前15项和为_【答案】【解析】等比数列首项为,第二项为,故是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,其前项和为,时,为.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前项和.题目给定一个数列为等比数列,并且给出和,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到,利用裂项求和法求得数
8、列的前项和.16. 若函数恰有2个零点，则的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于函数与函数恰有个零点，当时，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且：；当时，分类讨论：若，则，若，则，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得的取值范围为.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在中
9、，角，所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为，求出，结合的范围可求的值利用三角形内角和定理可求，利用三角形面积公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以.（2）因为，故为等腰三角形，且顶角， 故， 所以，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以.18. 从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福
10、、敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：是否合计男301040女35540合计651580（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位
11、女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式： .附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）不能（2）8125（3）【解析】【试题分析】(1)利用点的公式计算得,故不能.(2)人的概率为,故估计总人数为.(3)利用列举法和古典概型计算公式求得相应的概率.【试题解析】解：（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为 ，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.（2）这80位大
12、学生集齐五福的频率为.据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.（3）设选取的2位男生和3位女生分别记为，随机选取3次采访的所有结果为，共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有9个，故所求概率为.19. 如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证平面，进而得到面面垂直；（2）先找到过A的一个垂直于面.的一个平面，优点A向两个面的交线作垂线即可，解析：（1）证明：底面为菱形，.在直四棱柱中，底面，
13、.，平面.又平面，平面平面.（2）解：设与交于点，连接，过作，为垂足，即为在平面内的正投影.理由如下：平面，又，平面，又，平面.，由得，过作，垂足为，由得. .20. 在平面直角坐标系中，设动点到坐标原点的距离到轴的距离分别为，且，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求.【答案】（1）的方程为；（2）当的面积最大时， .【解析】【试题分析】(1)设,利用,解方程,化简可得轨迹方程.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积的表达式,由此求得弦的值.【试题解析】解：（1）设，则，则，故的方
14、程为（或）.（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，将代入，得 ，当，即时，从而 ，从点到直线的距离，所以的面积 ，整理得，即（满足），所以 .【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查椭圆有关三角形面积有关问题的求解.求解动点的轨迹方程,一般方法有定义法和代入法,本题中,给定动点满足的方程,故设出点的坐标后,分别用表示出,化简后可得到所求轨迹方程.注意验证是否所有的点都满足.21. 已知函数 .（1）若在上存在极值，求的取值范围；（2）当时，恒成立，比较与的大小.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】(1)函数在区间存在极值,即函数导函数满足,由此求得的取值范围.(2) 当时，恒成立，则,分离常数得对恒成立.构造函数利用导数求得函数的最大值,由此求得的取值范围.构造函数,利用导数证得的最小值大于零,由此证得.【试题解析】解：（1
