《湖南省邵阳市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖南省邵阳市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2017年下学期期末考试试卷高三数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得,所以,故选D.2. 已知复数满足:,且的实部为2,则( )A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】,即,故.故选B.3. 若角的终边经过点,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得,所以,故选C.4. 设命题:的展开式共有4项;命题:展开式的常数项为24;命题:的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么,下列命题中为真命题的是( )A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】对于命题,的展开式共有5项,所以命题是假命题; 对于命题,展开式的通项为,当时,此时展开式的常数项为所以命题是真命题;对于命题,的展开式中各项的二项式系数之和为,故命题是真命题. 故是真命题,故选C.5. 设点是双曲线上一点,则( )A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由于,所以,故,由于,解得,故选C.6. 执行下边的程序框图,若输入的,则输出的( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】,判断是,判断是,判断否,输出,故选B.7. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列判断正确的是( )A. 函数的最小正周期为4B. 函数的图象关于
3、直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】,故,由图象可知.故由于故最小正周期不为,排除A选项.将代入验证可知B选项错误.将点代入验证可知C选项正确.故选C.8. 若关于的不等式的解集包含区间,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得在(0,1)上恒成立,设,所以,由于函数是增函数,所以,故选B.9. 某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 54 B. 45 C. 27 D. 81【答案】B【解析】画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,
4、故选B.【点睛】本小题主要考查三视图,考查由三视图还原为原图并求原图的体积. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征,包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”. 10. 已知,是两个单位向量,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设则,所以当且仅当时,取到最大值5. ,所以的最大值为, 故选A.点睛:本题的难点在于解题思路的找寻,对于这个最值,一般利用函数的思想,先建立的三角函数,进而研究函数的最值.11. 在四面体中,底面,为棱的中点,点在上且满足,
5、若四面体的外接球的表面积为,则( )A. B. C. D. 2【答案】D【解析】设ABC的外心为O,则点O在AE上,设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R,则.因为所以. 故选D.点睛:本题的难点在于作出辅助线,根据球的截面的性质建立关于AD的方程.12. 过圆:的圆心的直线与抛物线:相交于,两点,且,则点到圆上任意一点的距离的最大值为( )A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由题意可知:,设,不妨设点A位于第一象限,如图所示,则:,据此可得方程组:,解方程可得:,则,故点 到圆 上任意一点的距离的最大值为.本题选择C选项.点睛:直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的
6、位置关系类似,一般要用到方程的思想,解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 设,满足约束条件,则的最小值为_【答案】-3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组线性规划的知识. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤:画出直线(有等号画实线,无等号画虚线);当时,取原点作为特殊点,判断原点所在的平面区域;当时,另取一特殊点判断;确定要画不等式所表示的平面区域.14. 设某批电子手表的正品率为,次品率为,现对该批电子
7、手表进行检测,每次抽取一个电子手表,假设每次检测相互独立,则第3次首次测到次品的概率为_【答案】【解析】第3次首次测到次品,所以第1次和第2次测到的都是正品,第3次测到的是次品,所以第3次首次测到次品的概率为,故填.15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设三个内角、所对的边分别为、,面积为,则“三斜求积”公式为 .若,则用“三斜求积”公式求得的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得,由得,则由得,则 .16. 若函数恰有2个零点,则的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于函数与函数恰有个零点,当时,则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且:;当时,分
8、类讨论:若,则,若,则,据此绘制函数图像如图所示,结合函数图像观察可得的取值范围为.点睛:(1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑;(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 设为数列的前项和,且 .(1)若,判断数列的单调性;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)由条件得,得,进而得,可得数列单增;(2)
9、由,可以利用裂项相消法求和.试题解析:(1),.于是,故数列单调递增.(2), .18. 某家电公司根据销售区域将销售员分成,两组.年年初,公司根据销售员的销售业绩分发年终奖,销售员的销售额(单位:十万元)在区间,内对应的年终奖分别为2万元,2.5万元,3万元,3.5万元.已知销售员的年销售额都在区间内,将这些数据分成4组:,得到如下两个频率分布直方图:以上面数据的频率作为概率,分别从组与组的销售员中随机选取1位,记,分别表示组与组被选取的销售员获得的年终奖.(1)求的分布列及数学期望;(2)试问组与组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高?为什么?【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试
10、题分析:(1)组销售员的销售额在,的频率分别为:,由此可得的分布列及(2)组销售员的销售额在,的频率分别为:,由此可得的分布列及,比较可得组销售员获得的年终奖的平均值更高.试题解析:(1)组销售员的销售额在,的频率分别为:,则的分布列为:(元)故 (元).(2)组销售员的销售额在,的频率分别为:,则的分布列为:(元)故 (元)., 组销售员获得的年终奖的平均值更高.19. 如图,在正方体中,分别是棱,的中点,为棱上一点,且平面.(1)证明:为中点;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析:(1)取的中点,连接,利用,证得四边形为平
11、行四边形,则,所以为的中点;(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2,利用两个面的法向量求解即可.试题解析:(1)证明:取的中点,连接,因为,所以为的中点,又为的中点,所以,因为平面,平面,平面平面,所以,即,又,所以四边形为平行四边形,则,所以为的中点.(2)解:以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2,则,可得,设是平面的法向量,则.令,得.易得平面的一个法向量为,所以 .故所求锐二面角的余弦值为.20. 在平面直角坐标系中,设动点到坐标原点的距离到轴的距离分别为,且,记动点的轨迹为.(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于,两点
12、,当的面积最大时,求.【答案】(1)的方程为;(2)当的面积最大时, .【解析】【试题分析】(1)设,利用,解方程,化简可得轨迹方程.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积的表达式,由此求得弦的值.【试题解析】解:(1)设,则,则,故的方程为(或).(2)依题意当轴不合题意,故设直线:,设,将代入,得 ,当,即时,从而 ,从点到直线的距离,所以的面积 ,整理得,即(满足),所以 .【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查椭圆有关三角形面积有关问题的求解.求解动点的轨迹方程,一般方法有定义法和代入法,本题中,给定动点满足的方
13、程,故设出点的坐标后,分别用表示出,化简后可得到所求轨迹方程.注意验证是否所有的点都满足.21. 设函数 .(1)设函数 ,若曲线在点处的切线方程为,求,的值;(2)当时, 恒成立,求的取值范围.【答案】(1),;(2)的取值范围为.【解析】试题分析:(1)第(1)问,由导数的几何意义得到方程,且点在曲线上,得到两个方程解答,得到,的值. (2)第(2)问,先化简原不等式,得到.这里要就a分a1和a1分类讨论,利用转化证明.试题解析:(1) ,则 ,又,解得,.(2) ,当时,恒成立,当时,设, ,所以在上递增,且,故,所以.设,同理可得,则 .当时,设 , ,所以在上递增,且,故,所以当时,
14、 ,取,则,所以,故当时不符合题意.综上可知,的取值范围为.点睛:本题的难点在第(2)问,就a分a1和a1分类讨论.当a1时,转化成证明,当a1时,转化证明.转化过程比较复杂,需要多次探究,才能找到恰当有效的转化.22. 在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标轴,已知直线的极坐标方程为,且.(1)求圆的极坐标方程;(2)设为直线与圆在第一象限的交点,求.【答案】(1)圆的极坐标方程为;(2).【解析】【试题分析】(1)先将圆的参数消掉得到圆的直角坐标方程,展开后利用直角坐标和极坐标转换公式得到圆的极坐标方程.将交点对应极坐标角度代入圆的方程,求得对应的值,也即的值.【试题解析】解:(1)由,消去得,即,故圆的极坐标