《湖南省邵阳市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省邵阳市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017年下学期期末考试试卷高三数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得,所以,故选D.2. 已知复数满足：，且的实部为2，则（ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】,即,故.故选B.3. 若角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得,所以，故选C.4. 设命题：的展开式共有4项；命题：展开式的常数项为24；命题：的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么，下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】对于命题，的展开式共有5项，所以命题是假命题； 对于命题，展开式的通项为，当时，此时展开式的常数项为所以命题是真命题；对于命题，的展开式中各项的二项式系数之和为，故命题是真命题. 故是真命题，故选C.5. 设点是双曲线上一点，则（ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由于,所以,故,由于,解得,故选C.6. 执行下边的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】,判断是,判断是,判断否,输出,故选B.7. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为4B. 函数的图象关于
3、直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】,故,由图象可知.故由于故最小正周期不为,排除A选项.将代入验证可知B选项错误.将点代入验证可知C选项正确.故选C.8. 若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题得在（0,1）上恒成立，设，所以，由于函数是增函数，所以，故选B.9. 某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 54 B. 45 C. 27 D. 81【答案】B【解析】画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,
4、故选B.【点睛】本小题主要考查三视图,考查由三视图还原为原图并求原图的体积. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 10. 已知，是两个单位向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设则，所以当且仅当时，取到最大值5. ,所以的最大值为, 故选A.点睛：本题的难点在于解题思路的找寻，对于这个最值，一般利用函数的思想，先建立的三角函数，进而研究函数的最值.11. 在四面体中，底面，为棱的中点，点在上且满足，
5、若四面体的外接球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】设ABC的外心为O，则点O在AE上，设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R，则.因为所以. 故选D.点睛：本题的难点在于作出辅助线，根据球的截面的性质建立关于AD的方程.12. 过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由题意可知：，设，不妨设点A位于第一象限，如图所示，则：，据此可得方程组：，解方程可得：，则，故点 到圆 上任意一点的距离的最大值为.本题选择C选项.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的
6、位置关系类似，一般要用到方程的思想，解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 设，满足约束条件，则的最小值为_【答案】-3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组线性规划的知识. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域.14. 设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子
7、手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为_【答案】【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为，故填.15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角、所对的边分别为、，面积为，则“三斜求积”公式为 .若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得，由得，则由得，则 .16. 若函数恰有2个零点，则的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于函数与函数恰有个零点，当时，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且：；当时，分
8、类讨论：若，则，若，则，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得的取值范围为.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 设为数列的前项和，且 .（1）若，判断数列的单调性；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由条件得，得，进而得，可得数列单增；（2）
9、由，可以利用裂项相消法求和.试题解析：（1），.于是，故数列单调递增.（2）， .18. 某家电公司根据销售区域将销售员分成，两组.年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间，内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元.已知销售员的年销售额都在区间内，将这些数据分成4组：，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从组与组的销售员中随机选取1位，记，分别表示组与组被选取的销售员获得的年终奖.（1）求的分布列及数学期望；（2）试问组与组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试
10、题分析：（1）组销售员的销售额在，的频率分别为：，由此可得的分布列及（2）组销售员的销售额在，的频率分别为：，由此可得的分布列及，比较可得组销售员获得的年终奖的平均值更高.试题解析：（1）组销售员的销售额在，的频率分别为：，则的分布列为：（元）故 （元）.（2）组销售员的销售额在，的频率分别为：，则的分布列为：（元）故 （元）.， 组销售员获得的年终奖的平均值更高.19. 如图，在正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，且平面.（1）证明：为中点；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，利用，证得四边形为平
11、行四边形，则，所以为的中点；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，利用两个面的法向量求解即可.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，可得，设是平面的法向量，则.令，得.易得平面的一个法向量为，所以 .故所求锐二面角的余弦值为.20. 在平面直角坐标系中，设动点到坐标原点的距离到轴的距离分别为，且，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点
12、，当的面积最大时，求.【答案】（1）的方程为；（2）当的面积最大时， .【解析】【试题分析】(1)设,利用,解方程,化简可得轨迹方程.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积的表达式,由此求得弦的值.【试题解析】解：（1）设，则，则，故的方程为（或）.（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，将代入，得 ，当，即时，从而 ，从点到直线的距离，所以的面积 ，整理得，即（满足），所以 .【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查椭圆有关三角形面积有关问题的求解.求解动点的轨迹方程,一般方法有定义法和代入法,本题中,给定动点满足的方
13、程,故设出点的坐标后,分别用表示出,化简后可得到所求轨迹方程.注意验证是否所有的点都满足.21. 设函数 .（1）设函数 ，若曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时， 恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）的取值范围为.【解析】试题分析：（1）第（1）问，由导数的几何意义得到方程，且点在曲线上，得到两个方程解答，得到，的值. (2)第（2）问，先化简原不等式，得到.这里要就a分a1和a1分类讨论，利用转化证明.试题解析：（1） ，则 ，又，解得，.（2） ，当时，恒成立，当时，设， ，所以在上递增，且，故，所以.设，同理可得，则 .当时，设 ， ，所以在上递增，且，故，所以当时，
14、 ，取，则，所以，故当时不符合题意.综上可知，的取值范围为.点睛：本题的难点在第（2）问，就a分a1和a1分类讨论.当a1时，转化成证明，当a1时，转化证明.转化过程比较复杂，需要多次探究,才能找到恰当有效的转化.22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，已知直线的极坐标方程为，且.（1）求圆的极坐标方程；（2）设为直线与圆在第一象限的交点，求.【答案】（1）圆的极坐标方程为；（2）.【解析】【试题分析】(1)先将圆的参数消掉得到圆的直角坐标方程,展开后利用直角坐标和极坐标转换公式得到圆的极坐标方程.将交点对应极坐标角度代入圆的方程,求得对应的值,也即的值.【试题解析】解：（1）由，消去得，即，故圆的极坐标
