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1、 1 函数图像的创意设计 韦辉樑 黎德聖 江春莲 前言 本文是笔者在浸信中学数学组的讲座稿 随後 该校的黎德聖老师带领高一和高二 年级的学生开展了一次 数学创意设计 的活动 学生的创意作品精彩纷呈 令老师 们大为惊讶 师生收获颇丰 同步成长 特此投稿 与老师们分享 一一 轨跡 的概念和实现 轨跡 的概念和实现 1 教材对函数 y f x 的图像的定义 是基于两个集合相等的概念定义的 也就是 满足方 程的点的集合 和图像上的点的集合之间的一一对应一一对应 2 何谓 轨跡 教材中有使用 轨跡 一词 例如 椭圆是到两点距离之和为常量的点 的轨跡 但何谓 轨跡 没有明确的说明 其实 动点留痕 便是轨跡
2、 这里有两个要 素 就是 动点 和 留痕 点要能动 在动的过程中要能留痕 3 运动由时间和位置两个元素来描述 时间有前后 运动就是伴随时间先后的位置顺序 所 以时间和轨迹都是连续有序的 而 点的集合 只有位置而没有先后 可以是间断的 无 序的 这是轨跡与函数概念的集合定义最大的不同 4 用粉笔在黑板上写字画图 就可以动点留痕 只是徒手较难画出一条准确的函数曲线 现 在可以借助函数作图工具 在 DM Lab42 的 1712 版本 中 动点的座标可用参数表示 实现 动点留痕 例如 在函数输入栏 键入 A x 5 cos t A y 3 sin t t 0 2 用点击 A 令其留痕 即可得到一动点
3、 A 沿指定的 座标运动并留痕 结果得到右图所示的椭圆轨跡 二二 从一个圆开始的创意设计之路从一个圆开始的创意设计之路 1 圆的轨跡 r 4 常量 M x r cos c M y r sin c c 0 2 2 如果 r 是变量会怎样 试试 r 4 sin c c 0 2 r 4 abs sin c 哈哈 得两个圆 3 猜想 将 c 改为 2c 可能得 4 个圆 试试 r 4 abs sin 2 c 哎哟 不是圆 但很像四叶梅花 图 1 图 2 图 3 2 4 猜想 将 c 改为 3c 可能得 6 叶 梅花 r 4 abs sin 3 c 果然是六叶梅花图 3 的 2 倍 5 好奇 真实的梅花
4、是 5 叶的 将 c 改为 2 5c 看看怎样 r 4 abs sin 2 5 c 果然是五叶 可惜 对称轴是 x 轴 所以看起来有点歪 6 思考 如果将它顺时针旋转 90 应该就正了 r 4 abs sin 2 5 c pi 2 果然放正了 图 4 图 5 图 6 7 思考 能不能中间留空做花蕊 考虑 r 最小是 1 r 4 abs sin 2 5 c pi 2 1 很好 果然留空了 8 思考 花瓣太长了点 怎么缩短 点 r 2 abs sin 2 5 c pi 2 1 哎哟 整体缩小了 不好 9 思考 加大些花蕊空间 修整一 下外形 r 1 5 abs sin 2 5 c pi 2 2 5
5、 嗯 很好 比较像一朵梅花了 图 7 图 8 图 9 最後 梅花的参数方程 其中 1 5 sin 5 2 5 4 2 5 0 2 在 DM Lab 中键入 r 1 5 abs sin 5 t 2 5 pi 4 2 5 A x r cos t A y r sin t 设参数 t 0 2 用点击 A 令其留痕 得到图 9 的梅花图 这里我们从圆开始 从改变 r 开始思考 从 r 4 到 1 5 sin 5 2 5 4 2 5 是经过 多次探究 思考 试验 修改 再试验 最後才成功 这样的创意设计是一条探究之路 三三 一些有用的技巧一些有用的技巧 1 符号函数 y Sgn 1 0 称为符号函数 2
6、取整函数 y Int x 称为取整函数 得到小于或等于 x 的最大整数 在数轴上看 取整 得到的是 x 左边的第一个整数点 3 3 连接函数 g1 sgn 1 2 1 g2 sgn 1 2 0 称为连接函数 图 10 显示的是 a 3 时 1 g x和 2 gx的图像 图 10 例 将分段函数y sin 连接成一个函数并作图 解 将分段函数连接成一个函数 设 g1 sgn 1 2 g2 sgn 1 2 连接点是 则 y sin g1 3 sin g2 sin g1 3 g2 在 DM Lab 中 输入 g1 sgn Pi x 1 2 g2 sgn x Pi 1 2 fy1 sin x g1 3
7、 g2 得图 11 图 11 4 反函数的图像 函数 y 的反函数是 将 x y 对调得 由此解出y 1 就是反函数 所以 要作反函数图像就很简单 只要将 x y 对调便可 例 求作函数y 3 的图像及其反函数的图像 解 函数图像的参数方程 3 反函数图像的参数方程 3 DM Lab 参考 作一自由点 M 输入 fy1 3 x y 3 图 12 中的蓝色曲线 M x 3 t M y t t 10 10 动点 M 的 留痕 就是 y 3 反函数的图像 图 12 中的红色曲线 图 12 4 四四 函函数数创创意意设设计计的的例例 例 1 不倒翁 图线 设计一个动点 其轨迹是按手写 8 字的笔顺 写
8、出一个 8 字 如图 13 所示 像个 不 倒翁 提示 参考前述二 由圆开始的设计 DM Lab 参考 作一自由点 A 输入 r 2 sin c g1 sgn pi c 1 2 g2 sgn c pi 1 2 A x r cos c g1 2 g2 A y r sin c g1 2 g2 4 c 0 2 图 13 例 2 心形图线 设计一个动点 其轨迹是心形图线 DM Lab 参考 作一自由点 M 输入 r 4 abs cos c c 0 2 g1 sgn pi c 1 2 g2 sgn c pi 1 2 M x r cos c g1 4 cos c pi g2 M y 1 1 r sin c
9、 g1 abs 6 pi 4 c 2 pi g2 註 心形线的下半部分由反余弦函数变换而成 图 14 例 3 试画一朵如图的菊花 向日葵 提示 参考前述二 由圆开始的设计 DM Lab 参考 r 2 5 1 5 abs sin 10 c A x r cos c A y r sin c B x 0 8 r cos c pi 20 B y 0 8 r sin c pi 20 c 0 2 图 15 5 例 4 一只美丽的蝴蝶 DM Lab 参考 眼睛和触鬚另外加画 r sin 3 c 2 abs sin 2 c 0 5 A x 2 6 r sin c 0 3 sgn pi c A y r cos c
10、 1 c 0 2 B x 0 8 A x B y 0 5 A y C x 0 2 cos c int c pi 0 01 1 C y 1 5 sin c int c pi 0 01 1 图 16 例 5 牛顿摆的模拟物理实验 作挂壁 矩形 挂点 Q Q 作小圆 A B 作线段 QA Q B DM Lab 参考 g1 sgn pi c 1 2 g2 sgn c pi 1 2 s a sin c 5 c 0 2 A x 5 sin s 0 5 g1 g2 0 5 A y 5 cos s 5 g1 B x 0 5 g1 g2 5 sin s 0 5 B y g2 5 5 cos s 图 17 例 6
11、 水平双弹簧振子简谐振动的模拟物理实验 作两边挂壁 矩形 挂点 Q 作自由点 A B P 小圆 M 作线段 AB DM Lab 参考 a 2 d 0 M x a sin c d c 0 4 M y 4 A x M x 0 5 A y 4 B x M x 0 5 B y 4 tf1 x 0 2 cos 6 t 3 8 k1 t 2 pi y 0 8 sin 6 t 4 k1 4 A x tf2 x 0 2 cos 6 t 3 8 k2 t 2 pi y 0 8 sin 6 t 4 k2 4 B x P x c P y M x 图 18 6 例 7 外星人的创意设计 a b c 图 19 1 设计
12、 草稿设计 一个外星人头像如上图右 该图像含如下几个部分曲线 头盖 半椭圆 脸面 心形线的下半部 余弦旋转 90 摺叠 图 19 a 鼻子 面形收窄 缩小 平移 眼睛 两个椭圆 轴对称 图 19 b 嘴巴 两段圆弧 中心不同 弧度不同 耳朵 面形缩小 旋转 135 平移 左右对称 图 19 c 由 8 个动点 用函数控制画出 2 分别用动点做试验 基本函数有 3 个 Xx1 cos a 圆或椭圆 a 0 Yy1 sin a Xx2 cos a pi 反余弦函数变换 脸面下部 a 2 Yy2 abs 3 pi 2 a pi 2 G1 sgn pi a 1 2 分段连接函数 以 为连接点 G2 s
13、gn a pi 1 2 面形 A 点 A x 4 xx1 g1 xx2 g2 A y 4 0 9 yy1 g1 yy2 g2 放大 的 4 倍 鼻子 B 点 B x 0 8 g1 xx2 g2 B y 1 5 yy2 g2 0 5 放大 的 1 5 倍 x 收窄 平移 两眼 C D 点 C x xx1 1 5 C y 0 5 yy1 0 5 D x C x 3 D y C y 7 嘴巴 E F 点 E x 3 5 sin a 2 pi 0 5 E y 3 5 cos a 2 pi 0 5 F x sin a pi 1 F y cos a pi 1 3 耳朵 G H 点 G x 1 5 g1 x
14、x2 yy2 g2 2 5 G y 1 5 g1 xx2 yy2 g2 2 H x G x H y G y 最後修整 白色字母 空心点形 图 20 玩玩 将耳朵拉长一点 变成兔子耳朵 yy2 2 yy2 G x 1 5 g1 xx2 2 yy2 g2 2 5 G y 1 5 g1 xx2 2 yy2 g2 2 H x G x H y G y 图 21 五五 黎德聖老师黎德聖老师班上班上学生的作品学生的作品 以下是黎德聖老师班上学生的一些作品 这些作品都是用函数图像构造的 黎老师在总 结中特别提到如下几个关键词 a 创意创意 学生的创意大大超出老师的预期 学生的创意还蕴藏了学生的个性和思考 b
15、主动学习主动学习 特别是平时数学成绩在班上处于中下等水平的学生 他们显得特别主动 创意也特 别令人惊讶 c 玩数学玩数学 数学学习原来也可以 玩 的 玩数学还可以 源于教材 又高于教材 教 材中不教参数方程 但学生在玩数学中学会了参数方程 而且用得非常好 d 效率与效果效率与效果 教学时间只用了 4 课时 学生创作是在课外时间完成的 学生所用的函 数都是平时学过的圆 椭圆和三角函数 但多学了 函数变换 效率与效果的矛盾得 到高度的统一 双效比平时要高得多 e 多元评核多元评核 多元评核早已获得公认 关键是要有适当的课题 教师要探讨一些 玩数 学 的课题 自己有创意才能更好地启发学生的创意 8
16、附 学生的作品 圖 22 火稚雞 圖 23 抽象宇宙 圖 24 過年食肥了的比卡超 圖 25 巨人 圖 26 多啦 A 夢 圖 27 麵包超人 圖 28 表情大師 圖 29 糖果龍徽章 圖 30 Tsum Tsum 系列 圖 31 失眼少女 圖 32 蝙蝠俠 圖 33 向日葵 9 点评 江春莲 我们生活在一个多姿多彩的世界 其中充满了各种形状的物体 如何用数学的语言来描述 这个缤纷的世界 可以用几何 包括平面几何和解析几何等 图形 函数图像等数学工具 韦校从一个简单的圆出发 通过改变半径 周期和径长 得到带芯的梅花 给师生很大的启 发 通过引入符号函数 我们可以将一些分段函数很巧妙地组合在一起 得到丰富多彩的图 案 不倒翁 心形 菊花 蝴蝶等 基于简笔画 将人头像进行分解 从而得到它的画法 从这些基础出发 学生进行创意设计 充分发挥个人的创造力 在完成这些作品的过程中 学生充分调用已经学过的数学知识 在图形拼合的过程中 学生学会调整参数 让不同的对 象和谐地组合到一起 形成心中喜欢的玩偶 从学生创作的作品 我们也可以看到 学生开始用数学的眼光看周边熟悉的事物 一般教 学设计的 知识 方
