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1、 1 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 讲义部分 经典例题经典例题 知识互联网知识互联网 0808 四四点点共共圆圆的的应应用用 板块一板块一 利用四点共圆确定角度关系利用四点共圆确定角度关系 2 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例1 如图 已知ABC 中 AH是高 AT是角平分线 且TDAB TEAC 求证 AHDAHE BHCH BDCE TH E D CB A 解析 TDAB TEAC 90ADTAET A DTE 四点共圆 且AT是直径 AHBC 90AHT H也在圆上 即A DTHE 五点共圆 AT是角平分线 DTET ADAE AHDAHE 由 可知 BT BHBD BA
2、 CH CTCE CA BHBA BDBT CHCA CECT AT是角平分线 ABAC BTCT BHCH BDCE 例2 在四边形ABCD中 25BAC 20BCA 50BDC 40BDA 求CPB A B C D P E P D C B A 解析 延长BD到E使得DEAD 连接AECE 40ADB ADED 20DAEDEA 20ACB ACBAED ABCE 四点共圆 25CEBCAB 50BDC 25DECDCE CDDE D是圆心 70DABDBA 257095CPBBACABD 3 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例3 第 26 届 IMO O 过ABC 顶点AC 且与AB
3、BC 交于KN K与N不 同 ABC 外接圆和BKN 外接圆相交于B和M 求证 90BMO N C O A K B M 解析 证法证法 1 如图 延长BM至H 连接MN AM AO ON MBKN KACN MBAC均是圆内接四边形 HMNBKNACBBMA m AONAKN 1 2 ACBAKN 2AONACB 即180AONHMNBMAAMN 180AONAMN A M N O四点共圆 又OAON AMONMO 故 1 18090 2 BMAAMOHMNNMO 即90BMO 证证法 法 2 如图 设MO交圆BNK于I 连接AM交圆BNK于S 连接 KI KS MN MBKS NKAC均为圆
4、内接四边形 AKSBMA BKNACB 又 BMA 与ACB 为同一弧上的圆周角 BMAACB AKSBKN 又 SKIAMO NKINMO 由上证可知AMONMO SKINKI 1 18090 2 BKNNKIAKSSKI 故90BKI 又 B M I K四点共圆 90BMIBMO 证证法 法 3 如图 作直线CMP 连接MK KO CO MBAC NKAC为圆内接四边形 BMPABNK 又 BMKBNK BMPBMKA 2 mm KOCKNCAPMK M B K A O C N S I M B K A O C N P H M B K A O C N 4 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版
5、 M K O C四点共圆 又OKOC KMOCMO 1 18090 2 BMKKMOBMPCMO 90BMO 证证法 法 4 如图 连接MN并延长交圆O于D 连接AM AD AO DO 180BKNBMN 又BNKADM 180ADMBMN BMAD MADBMA 又 ADMACNBMA MADADM 点M在AD的垂直平分线上 而AODO 点O亦在AD的垂直平分线上 MOAD MOBM 故90BMO 证证法 法 5 如图 设ABC BKN 的外接圆圆心分别为 1 O 2 O 取BM的中点E 连接 1 O E BM为圆 1 O 2 O的公共弦 1 O 2 O E三点共线 且 1 OEBM 连接B
6、O交 1 O E于F 又连接 1 OO 并延长 2 BO交圆 2 O于G 则BG为圆 2 O的直径 2 111 90 222 m O BNBKNGNBNBNG 又BKNBCA 2 90O BNBCA 2 BOAC 21 BOOO 2 BO在BC上的射影为 1 2 BN 又 1 BO CO分别在BC CN上的射影为 1 2 BC 1 2 CN 1 OO 在BC上 的 射 影 为 111 222 B CC NB N 21 BOOO 又 21 O BFOOF 21 BFOOFO 21 BO FOOF BFOF 又BEME 1 OEOM 又 1 OEBM OMBM 故90BMO D M B K A O
7、 C N M B K A O C N E O1 O2 F G 5 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例4 在RtABC 中 AD为斜边BC上的高 P是AB上的点 过A作PC的垂线交过B所作AB 的垂线于Q点 求证 PDQD E Q P D CB A 解析 AEPC BQ AB ADBC 90AEPABQADC CADABC B PEQ A EDC 分别四点共圆 CEDCAD CEDABC BDEP 四点共圆 B PEDQ 五点共圆 90PDQPEQ PDQD 例5 如图所示 在锐角ABC 中 BD CE分别是边AC AB上的高 以AB为直径作圆交 CE于点M 在BD上取点N 使得ANAM
8、求证 ANCN H N M E D C B A 解析 证法一 连结DM 由AB为直径 BDAC 得A B M D四点共圆 ABDAMD 又90ACECAEABDAMD ADMAMC 22 AD ACAMAN ANCN 射影定理的逆定理 N M H E D CB A N M H E D CB A 经典例题经典例题 板块二板块二 利用四点共圆确定线段的位置关系利用四点共圆确定线段的位置关系 6 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 证法二 连结BM EN 则由射影定理得 22 AMANAE AB AENANB ANEABN 又BCDE 四点共圆 ABNACE ANEACE AENC 四点共圆 90
9、ANCAEC 即ANCN 例6 1 2009 年 数学周报杯 全国初中数学竞赛 如下左图 过ABC 的顶点C作这个三角 形 的 外 接 圆 的 切 线l AP和BQ是ABC 的 两 条 高 1 QQl 1 PPl 求 证 11 QQPP l O Q1 Q P1 P C B AAB C P P1 Q Q1 O l 2 如下右图 在ABC 的边ABAC 上分别取点Q P 使得 1 2 PBCQCBA 求证 BQ CP Q P C B A M A BC PQ 解析 1 连接PQ AP BQ 是ABC 的高 90APBAQB A B PQ 四点共圆 CPQCAB l是O 的切线 1 BCPCAB 1
10、CPQBCP PQ l 1 PPl 1 QQl 11 PPQQ 11 PPQQ 经典例题经典例题 板块三板块三 利用四点共圆确定线段的等量关系利用四点共圆确定线段的等量关系 7 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 2 1 2 PBCQCBA BQCBPCAACQAABP AABPPBCACQBCQ 180AABCACB 作点P关于BC的对称点M 于是180BQCBMC MCPC BMCQ 四点共圆 MBCPBCBCQ BQCM BQCP 例7 如图所示 锐角ABC 的三条高AD BE CF交于点H 连接DF交BH于点P 过点 P作PQ AD 且交AB于点Q 求证 QE平分线段AH K Q P
11、 H F E D C B A A B C D E F H P Q K 解析 如图 联结EF 设QE与AH交于点K 由A F H E四点共圆知FEHFAH 由PQ AD 得 FAHFQP 故 FEHFQP 于是 F P E Q四点共圆 所以 QEPBFD 由F D C A及D C E H分别四点共圆 得BFDDCAAHE 所以 QEPAHE 于是KHKE 又90KEAKEH 90KHEKAE 则KEKA 从而KHKA 故QE平分线段AH 板块四板块四 利用四点共圆确定线段的数量关系利用四点共圆确定线段的数量关系 8 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例8 如图 在ABC 中 ADBC BEA
12、C AD与BE交于点H P为边AB的中点 过 点C作CQPH 于Q 求证 2 PEPH PQ Q P H E D CB A A BC D E H P Q 解析 连接CH EQ 由已知可得 90CQPCEB C QEH 四点共圆 EQHECH P是AB的中点 PAPEPB PEBPBEECH PEHEQH PEHPQE 2 PEPH PQ 另 此题亦可证明PE是圆的切线 然后用圆幂定理得到结论 例9 如图 动点P在O 外 O 的半径为r 过P任作O 的两条割线PAB PCD ADBC 交于点 Q 求证 不论点 P 与割线 PAB PCD 的位置怎样变化 222 OPOQPQ 恒为定值 Q P O
13、 D C B A K Y X N M A B C D O P Q 解析 如图 设直线 PO 交O 于 X Y 直线 QO 交O 于 M N 在作 CDQ 的外接圆交射线 PQ 于点 K 于是PQ PK PC PDPX PY 22 OPr OPrOPr 联结 KD 注意到180180 oo PADBADBCD 180QCDQKDPKD 所以 P A K D 四点共圆 故PQ QK AQ QDMQ QN 22 rOQ rOQrOQ 得 PQ PKQK 2222 OPrrOQ 即 2222 2PQOPOQr 故 2222 2OPOQPQr 定值 经典例题经典例题 9 初二秋 第 08 讲 联赛班 教
14、师版 10 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 拓1 如图 点P在平行四边形ABCD内 且ABPADP 求证 DAPDCP P D C B A A B C D P E 解析 过P点作AD的平行线 过D点作AP的平行线 二者交于点E 连接CE 则四边形APED是平行四边形 PEAD ABCD是平行四边形 ADBC ADBC PEBC PEBC 四边形PBCE是平行四边形 CEBP CEBP ABPDCE ABPDCE ABPADP DPEDCE CEDP 四点共圆 PCDPED DAPDCP 拓2 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 切点为AB 所作割线交圆于CD 两点 C 在PD 之间 在
15、弦CD上取一点Q 使 DAQPBC 求证 DBQPAC Q P D C B A 解析 如图 连结AB AQPADCDAQABPABCPBC 又 DAQPBCADCABC AQCABP A QBP 四点共圆 BQPBAP 又 BQPBDQDBQBAPBACCAP 且 BDQBAC DBQPAC 拓3 如图 EF 分别是正方形ABCD的边CDAD 的中点 BECF 相交于H 思维拓展思维拓展 11 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 求证 AHAB H F E D CB A A BC D E F H 解析 连接BF EF 是CDAD 的中点 BCECDF CBEDCF 90DCHBECCBEBE
16、C 即90BHF ABHF 四点共圆 AHBAFB CFDCFD 很明显AFBCFD ABHAHB AHAB 拓4 如图所示 在梯形ABCD中 ADBC 1BCBD ABAC 1CD 且 180BACBDC 求CD的长 A BC D E F A BC D 解析 如图 作点D关于BC的对称点E 连接AE BE CE 设AE与BC交于点F 由ADBC 知点A E到BC的距离相等 则AFEF 设CDCEx AFEFm 由180BACBDC 得180BACBEC 故A B E C四点共圆 由ABAC 得ABCACB 故AEBACBABCAEC 又EBFEAC BEAE BFEACE EFCE 故 2 2mAE EFBE CEx 由角平分线的性质得 1BFBE CFCEx 又因为1BFCF 所以 1 1 BF x 1 x CF x 2 2 1 x mAF EFBF FC x 于是 由 2 2 1 x x x 解得21x 故21CD 拓5 在圆心为O的圆外有一点P 设弦AB垂直于直线OP 若直线PA和该圆的交点为C 直 12 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 线OP和BC相交于点D 求证 2
