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1、一方法综述1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
2、3.函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二解题策略类型一 函数单调性问题中的参数讨论【例1】【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次监测】已知函数的定义域为，其中， 为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，讨论的单调性；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（）见解析;（）.【解析】（），；由于当时， ，此时在上
3、单调递增；当时， ，此时在上单调递减；当时， ， ，此时在上单调递减，在上单调递增【指点迷津】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点【举一反三】【山东省日照市2018届5月校际联考】已知函数(e为自然对数的底数)(I)若的单调性；(II)若，函数内存在零点，求实数a的取值范围【答案】()答案见解析；().【解析】（I）定义域为故则(2)当时，在上单调递减，在单调递增（）设,，设，则(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意. (2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的
4、第一个零点为，则当时，故在上为减函数，又，所以当时，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.类型二 函数极值问题中的参数讨论【例2】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数（1）判断f(x)的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）3+ln2,+【解析】（2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知
5、 =ax1+x2-x12+x22-lnx1+lnx2， 由得，即这些极值的和的取值范围为3+ln2,+【指点迷津】1对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f(x)零点的存在；(2)参数是否影响f(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f(x)在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)2在研究函数极值问题的时候，要注意可导函数f(x)在点xx0处取得极大值的充要条件是：f(x0)0，且存在一个x0的邻域(x0，x0)，当x(x0，x0)时，f (x)0，当x(x0，x0)时，f(x)0.可导函数在xx0处
6、取得极小值的充要条件是：f(x0)0，且存在一个x0的邻域(x0，x0)，当x(x0，x0)时，f(x)0.【举一反三】【江西省南昌市2018届二轮复习测试（四）】函数在内存在极值点，则（ ）A B C 或 D a-12或【答案】A【解析】当fx=x2+2ax-20在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.在在存在极值.故选A类型三 函数最值问题中的参数讨论【例3】已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值【答案】（1）0,1；（2）当0a时，g(x)的最小值g(
7、0)1a，最大值g(1)(1a)e；当a时，g(x)的最小值g(0)1a，最大值g2ae；当a1时，g(x)的最小值g(1)(1a)e，最大值g2ae；当a1时，g(x)的最小值g(1)0，最大值g(0)2.法二：由已知，得f(0)c1，f(1)(abc)e0，所以ab1.对f(x)求导，得f(x)ax2(a1)xaex.因为f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)0，即a(x2x1)x在0,1恒成立当x0时，a0；当x(0,1时，a1，即a1.因为函数yx1在(0,1上单调递增，且x1(，1，所以0a1.综上所述，a的取值范围是0,1 g(x)0，g(x)单调递减所以g(x)在x处取得最大值
8、g2ae，在x0或x1处取最小值因为g(0)g(1)a(e1)e1，所以当a时，g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.当1，即0a时，x0,1时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.综上所述，当0a时，g(x)的最小值g(0)1a，最大值g(1)(1a)e；当a时，g(x)的最小值g(0)1a，最大值g2ae；当a时，则，所以实数a的取值范围是，a的最大值是.填.2【2019年一轮复习讲练测】已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数
9、在_处取得极值.【答案】-1【解析】3.已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值【答案】（1）当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.（2）当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.【解析】 (1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x. 4
10、.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知函数（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间【答案】（1）y=x+1；（2）见解析【解析】（）当时，函数定义域为，切线为（）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为R，又a+11,f(x)在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且x10x21，得，令，则，2t3+3t2-10，即2(t3+1)+3(t2-1)0 ，t12，.当时，；当时，f-a31，.综合得：若，则实数的取值范围为.6【山东省安丘市2019届10月检测】函数fx=alnx-1x+x+1（）求函数的单调区间；（）若函数存在两个极值点，记过点，的直线斜率为k，问：是否存在实数a，使得？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）当时，函数在0,+单调递增当时，和时，单调递增；当时，单调递减
