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1、第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2.幂的乘方：，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc
2、(a、b、c都表示单项式) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(ab)=a2b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)
3、2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y2)2(3x+y)22(3x+y)2+229x2+6xy12x+y24y+4，或者(3x+y2)2(3x)2+23x (y2)+ (y2)29x2+6xy12x+y24y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y2看成是b.
4、（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的几种常见的恒等变形有：（1）a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab.（2）ab(a+b)2（a2+b2）(a+b)2(ab)2.（3）(a+b)2+(ab)22a2+2b2.（4）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。（1），任何不等于0的数的0次幂都等于1.（2）单项式相
5、除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。8常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。ii 公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母
6、：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂。（2）公式法： （1）常用公式 平 方 差： 完全平方： （2）常见的两个二项式幂的变号规律：；（为正整数）（3）十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成 二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：。（4）分组分解法 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分
7、解因式的目的。例如：=， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。二、经典例题第一部分 整式的乘除【例1】例题下列运算正确的是（）A.a5+a5=a10 B.a5 a5 = a10 Ca4a5=a20 D（a4）5=a9【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4a5=a9 ；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20【解析】本题应选【规
8、律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理【例2】下列运算正确的是（ ）A.(x)2x3=x6 B. CD【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(x)2x3=x2x3=x5；选支B错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，=；选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误，=；选支D运算正确【解析】本题应选【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错【例3】下列运算在正确的是（ ）A. B
9、.C.D.答案 B错因透视对整式运算法则理解不深入才会出现错误，【例4】计算：（-2x2y）2(-3xy)【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算【解析】原式=4x4y2(-3xy) (据积的乘方) =4(-3)(x4x)(y2y) (据乘法交换律、结合律) =-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：2a2b(- 3ab2)5abc=2(-3)5(a2aa)(bb2b)c=-30a4b4c【例5】（1）2xy(5xy2+
10、3xy-1) （2）(a2-2bc)(-2ab)2【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的【解析】（1）原式=2xy5xy2+2xy3xy+2xy(-1) =10x2y3+6x2y2-2xy （2）原式=(a2-2bc)4a2b2 =4a2b2a2+4a2b2(-2bc) =4a4b2-8a2b3c【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：出现漏乘，而导致缺项；出现符号错误；运算顺序出错，造成计算有错【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x
11、-y)(x2+xy+y2)【思路点拨】第（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加【解析】(1)原式=3x2a+3x3b+(-2y)2a+(-2y)3b =6ax+9bx-4ay-6by (2)原式=xx2+xxy+xy2+(-y)x2+(-y)xy+(-y)y2 =x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y3【规律总结】（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号 （2）乘积中有同类项，要合并同类项
12、【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2 =4y6-9x4【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(
13、2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=-(m+2n)2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+22a3b+(3b)2 =4a2+12ab+9b2 (2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-22yx+x2 =4y2-4xy+x2 (3)(-m-2n)2=-(m+2n)2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y)
14、2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧（2）完全平方公式(ab)2=a22ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”【例9】计算：(1)y10y3y4 (2)(-ab)5(-ab)3【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后【解析】(1)y10y3y4=y10-3-4=y3(2)(-ab)5(-ab)3=(-ab)2=a2b2【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步【例10】计算：(1)xn+2xn-2 (2) (x4)3x4x16（3）用小数或分数表示：5.210-3【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果【解析】(1)xn+2xn-2=x(n+2)-(
