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1、第十一单元不等式考点一不等式的性质及不等式的解法1.(2017年山东卷)若ab0,且ab=1,则下列不等式成立的是().A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2aD.log2(a+b)a+1b1,0b1,所以b2alog22ab=1,2a+1ba+1ba+ba+1blog2(a+b).故选B.【答案】B2.(2016年北京卷)已知x,yR,且xy0,则().A.1x-1y0B.sin x-sin y0C.12x-12y0【解析】xy0,1x1y,即1x-1yy0时,不能说明sin xsin y,如x=,y=2,xy,但sin y
2、0,所以12x12y,即12x-12y0,故C正确.当x=1,y=12时,ln x+ln y0,故D不正确.【答案】C3.(2016年全国卷)设集合A=x|x2-4x+30,则AB=().A.-3,-32B.-3,32C.1,32D.32,3【解析】因为A=x|1x32,所以AB=x32x0,则ST=().A.2,3B.(-,23,+)C.3,+)D.(0,23,+)【解析】S=x|x2或x3,T=x|x0,ST=(0,23,+).【答案】D考点二简单的线性规划5.(2017年全国卷)设x,y满足约束条件2x+3y-30,2x-3y+30,y+30,则z=2x+y的最小值是().A.-15B.
3、-9C.1D.9【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z过点(-6,-3)时,故所求z取到最小值为-15.【答案】A6.(2016年山东卷)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是().A.4B.9C.10D.12【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x2+y2为可行域内的点到原点距离的平方,联立x+y=2,2x-3y=9,解得交点为(3,-1),结合图形可知(x2+y2)max=(32+(-1)2)2=10.【答案】C7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域x-20,x
4、+y0,x-3y+40中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=().A.22B.4C.32D.6【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=131,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB的长度即为图中的线段EF的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组x+y=0,x-3y+4=0,解得点E的坐标为(-1,1);联立方程组x+y=0,x=2,解得点F的坐标为(2,-2).所以|EF|=(2+1)2+(-2-1)2=32.【答案】C8.(2017年全国卷)设x,y满足约束
5、条件x+2y1,2x+y-1,x-y0,则z=3x-2y的最小值为.【解析】不等式组x+2y1,2x+y-1,x-y0表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=32x-z2,要求z的最小值,即求直线y=32x-z2的纵截距的最大值.当直线y=32x-z2过图中点A时,纵截距最大,由2x+y=-1,x+2y=1,解得点A的坐标为(-1,1),此时z=3(-1)-21=-5.【答案】-59.(2016年全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 k
6、g,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,由题意得,x,y满足的关系为1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x0,y0. 目标函数z=2100x+900y.二元一次不等式组即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x0,y0. 如图所示,作出二元一次不等式组表示的平面区域(阴影部分).将z=2100x+900y变形,得y=-73x+z
7、900,平移直线y=-73x,当直线y=-73x+z900经过点M时,z取得最大值.解方程组10x+3y=900,5x+3y=600, 得点M的坐标为(60,100).所以当x=60,y=100时,zmax=210060+900100=216000.【答案】216000考点三基本不等式10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是().A.q=rpB.p=rpD.p=rq【解析】由题意知,p=f(ab)=lnab,q=fa+b2=lna+b2,r=12(f(a)+f(b)=12(ln a+ln b)
8、=12ln ab=lnab.ba0,a+b2ab0.又函数f(x)=ln x为增函数,p=rbbb,bcac;(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d;(4)可乘性:ab,c0acbc;ab0,cd0acbd;(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1);(6)可开方:ab0nanb(nN,n2).二解一元二次不等式判别式=b2-4ac0=00)的根有两个相异实根x1,x2(x10 (a0)的解集xx-b2aRax2+bx+c0)的解集 左学右考1 (2016皖南八校联考)已知a,bR,下列命题正确的是().A.若ab,则|a|b| B.若ab,则1ab,则a2b2 D.若a|b|
9、,则a2b22 已知ab0,则“b1a”是“a1b”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 (2017资阳一诊)关于x的不等式x2+px-2(4) (5) (6) 二、x|xx2x|x1x|b|0,则a2b2.【答案】D2.【解析】由b0得ab20,所以a1b,同理,由a1b可得b1a.【答案】C3.【解析】依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,则q+1=-p,即p+q=-1.【答案】B4.【解析】因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4.【答案】A题
10、型一不等关系、不等式的性质及应用【例1】 (1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是().A.MNC.M=ND.不确定(2)(2017山东济南模拟)“x13且x23”是“x1+x26且x1x29”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)(2017西安八校联考)设ab1,ccb;acloga(b-c).其中正确结论的序号是().A.B.C.D.【解析】(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),a1,a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0,M N.(2)x13,x23x1+x26,x1x29;反之不成立,例如x1=12,x2=20,x1+x2=4126,x1x2=109,但x13且x23”是“x1+x26且x1x29”的充分不必要条件.(3)由不等式及ab1知1a1b,又ccb,正确;由指数函数的图象与性质知正确;由ab1,c
