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1、2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是 2（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）= 3（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 4（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 5（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 6（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）7（4分）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 8（4分）设无穷等比数列an的公
2、比为q，若a1=（a3+a4+an），则q= 9（4分）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是 10（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）11（4分）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b= 12（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= 13（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E（）=4.2，则小白得5分的概率至少为 14（4分）已知曲线C：x=，直线l
3、：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D417（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（
4、）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解18（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V20（14分）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由21（14分）如图，某公司要在
5、A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）22（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，
6、则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线23（16分）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设an是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+an，若SnSn+13Sn，nN*，求q的取值范围（3）若a1，a2，ak成等差数列，且a1+a2+ak=1000，求正整数k的最大
7、值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，ak的公差2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期【解答】解：y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x，函数的最小正周期为T=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=6【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=（1+2i）（1
8、2i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=2【分析】由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与
9、几何特征解答问题4（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，2【分析】可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围【解答】解：当a2时，f（2）=24，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（，2【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题5（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得【解答】解：xy=1，y=x2+2y2=x2+2=2，当且仅当x2=，即x=时取等
10、号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题6（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为，圆锥的侧面积是底面积的3倍，=3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cos=，=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键7（4分）已知曲线C的极坐标
11、方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是【分析】由题意，=0，可得C与极轴的交点到极点的距离【解答】解：由题意，=0，可得（3cos04sin0）=1，C与极轴的交点到极点的距离是=故答案为：【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键8（4分）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值【解答】解：无穷等比数列an的公比为q，a1=（a3+a4+an）=（a1a1q）=，q2+q1=0，解得q=或q=（舍）故答案为：【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知
12、识的合理运用9（4分）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可【解答】解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力10（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即
13、可得到答案【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题11（4分）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=1【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论【解答】解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则或，由得，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足
14、条件若b=a2，a=b2，则两式相减得a2b2=ba，互异的复数a，b，ba0，即a+b=1，故答案为：1【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论12（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直
