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1、第27讲 巧做游戏与对策巧点晴方法和技巧“余数制胜法”“对称制胜法”“例推法”等都是游戏与对策的常用思考方法。巧指导例题精讲我国古代有一个“田忌赛马”的故事:齐王经常要求和将军田忌赛马,规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹,进行三场比赛,每场各出一匹马,每胜一场可得一千金。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意,叫田忌用下等马对齐王的上等马,上等马对齐王的中等马,中等马对齐王的下等马。结果,田忌先负一场然后连胜两场,反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。它告诉我们:在竞争时,要认真分析研究,寻找并制定尽可能好的方案,利用它取得尽可能大的胜利,或在胜利无望时,也不至于输得太惨。在20
2、世纪形成了对策论这门新兴科学,专门研究这种思想。A级 冲刺名校基础点晴【例1】有两堆火柴,一堆16根,一堆11根。甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆,但每次只能在某一堆中拿火柴,谁拿走最后一根算谁胜,问甲如何才能取胜?分析与解 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况:当两堆的火柴根数相同时,后取者只要根据先取者的取法,在另一堆中取相同的根数,就能保证取到最后一根。对一般情况可设法将它化为特殊情况。甲从16根的那堆中先取出(1611=)5根,使两堆火柴根数相同,然后每次根据对手取的根数在另一堆中取相同的根数,使两堆火柴数保持相等,直至取到最后一次火柴而获胜。小结 当乙先取时,如果他不知道获
3、胜的策略,那么甲可以利用乙的错误取胜。做一做1 桌面上有2000根火柴,甲、乙两人轮流地取1根或2根火柴,谁取到最后一根火柴为胜,问甲获胜的策略是什么?【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分放好的硬币不再移动。谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候他就赢了。请说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。分析与解 采用“对称”思想。设想圆桌面只有一枚硬币那么大,当然甲一定获胜。对于一般较大的圆桌面,由于圆是中心对称的,甲可以先把硬币放在桌面中心,然后,乙在某一个位置放一枚硬币,甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币。按此方法,
4、只要乙能找到位置放一枚硬币,根据圆的中心对称性,甲定能找到与这一位置中心对称的地方,放上一枚硬币。由于圆桌面的面积是有限的,最后,乙找不到放硬币的地方,于是甲获胜。做一做2 两个小朋友各持有同样大小的圆纸片若干张,他们轮流把纸片放到一张长方桌面上(桌面比圆纸片大),纸片边缘不越出桌面而且互相不重叠。轮到谁无法放圆纸片时,就算谁失败,问有什么办法可以取胜?【例3】一张310的长方形网格纸有30个小方格,甲、乙两人轮流在切纸机上沿方格线的直线剪一切。甲将一分分为两份,先送一份给乙,由乙按同样要求再剪。然后乙又选送一份给甲,甲再这样剪如此重复。谁送给对方的只有一个方格谁就获胜。问甲要想获胜有何策略?
5、分析与解 先考虑正方形的纸,这时后剪的都可以使图形再变成(较小的)正方形,直到取得胜利。甲先应当剪下73与33的两块,把33的那块送给乙,乙只能剪成13和23的两块。若送13给甲,正好可使甲获胜;若送23给甲,那么甲再一切剪成12与22的两块,把22的那块送给乙。乙只可能切成12的两块。其中一块给甲,正好可使甲剪下一个方格给乙获胜。做一做3 甲、乙两人在1100(100个格子)的长条纸上,从左向右移动一枚棋子(这枚棋子在第一格上)。移动规则是:最少移动1格,最多移动3格,将棋子移到最后一格者为输。问甲有无获胜的策略?B级 培优竞赛更上层楼【例4】两个人轮流数数,每人每次可以数1个、2个或3个,
6、但是不能不数。例如,第一个人数1和2,第二个接着往下数,他们可以数3,也可以数3和4,也可以数3,4,5。如此继续下去,谁数到100,就算谁胜。请试一试,怎样才能获胜?分析与解 要抢到100,必须先抢到96。这时另一个只能数97,或数97,98,或数97,98,99,无法数到100。如何才能保证数到96呢?又必须抢到92。依此类推,得到一列数92,88,8,4。只要抢到这些中任何一个,然后当对方报(13)个数,这样就能继续抢到这个数列中的上一个数,直到抢到100。但无论第一个报什么数,第二个都可以抢到4第一个人报3时,第二个人就报(4)个数时,因此第二人有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时,
7、第一个人才能获胜。小结 想一想 如果将100改为99或101,其他条件均不变,先数的人能否获胜呢?做一做4 甲、乙两人轮流报数,每次报的数都是不超过8的非零自然数。把两人报的数逐次相加,谁的和正好达到8,谁就获胜。问甲欲胜有何策略?【例5】甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的非零自然数,把两人报出的数的和依次加起来,谁报数后加起来的和是2000,谁就获胜。如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?分析与解 采用倒推法(倒推法是解决这类问题的一种常用的数学方法)。由于每次报的数是16的自然数,20001=1999,20006=1994,甲要获胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是199
8、41999,由于19941=1993(或19996=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993。同样,由于19931=1992,19936=1987,所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是19871992,甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986。同样,由于19861=1985,19866=1980,所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是19801985,甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,以此类推。把甲报完数后加起来得到的和从后往前进行排列:2000,1993,1986,1979,。观察这一数列,发现这是一等差数列,且公差=d=7,这些数被7除都余5。
9、因此这一数列的最后三项为:19,12,5。所以甲要获胜,必须先报5。因为125=7,所以以后乙报几,甲就报7减几,例如乙报3,甲就接着报4(即73)。甲要获胜必胜先报,甲先报5;以后,乙报几,甲就接着报7减几。这样甲就一定能获胜。做一做5 甲、乙两人轮流报数,必须报14的自然数,报两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的和是1000,谁就取胜,如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?【例6】有1994个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛,比赛的规则是:甲、乙轮流取球,每人每次取1个、2个或3个,取最后一个球的人为失败者。(1)甲先取,为了取胜,他应采取怎样的策略?(2)乙选拿了3个球,
10、甲为了取胜,应当采取怎样的策略?分析与解 为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为11994号。取球时先取序号小的球,后取序号大的球。还是采用倒推法:甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在倒数一次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个数是1993(也许他取的球不止一个)。为了保证能做到这一点,就必须使乙倒数第二次所取的球的序号为1990(即19933)1992(即19931)。因此,甲在倒数第二次取数时,必须使自己所取的球中序号最大的一个是1989。为了保证能做到这一点,就必须使乙倒数第三次取球时,必须使他自己所取球中序号最大的一个是1985。把甲每次所取的球中序号最大的倒着排
11、列起来,1993,1989,1985,。观察这一数列,发现这是一等差数列,公差d=4,且这些数被4除都余1。因此,甲第一次取球时应取1号球,然后乙取个球,因为(4)=4,所以为了确保甲能从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数,甲就应取(4)个球。这样就能保证甲必胜。由上面的分析知,甲为了获胜,必须取到那些序号被4除余1的球。现在乙先拿了3个,甲就应拿53=2(个)球,以后乙取个球,甲就取(4)个球。(1)甲为了获用,甲应先取1个球,以后乙取个球,甲就取(4)个球;(2)乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取个球,甲就取(4)个球。做一做6 54张扑克牌,两人轮流拿牌,每人每次
12、只能拿1张到3张,谁拿到最后一张谁输,问先拿牌的人怎样确保获胜?巧练习温故知新(二十七)A级 冲刺名校基础点晴1.两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”,一方为黑棋,一方为白棋。任何一方放入“象”时,要保证不被对方己放的“象”吃掉,谁无法放入棋子为输。问必胜策略是什么?2.有两个箱子分别装有63个和108个球。甲、乙两个人轮流在任一箱中任意取球,规定取得最后一个球的人为胜。问若甲先取,他应如何做才能取胜?3.下图是一张棋盘(29)。甲置白子于A位,乙置黑子于B位,随后两个人轮流走子,每一步可沿一条横线或竖线中的一条至少走一格,并遵循如下规则:(1)不允许和对方的棋子处在同一条横线或竖线;(2)
13、不能越过对方所在的横线或竖线。甲A轮到谁的棋子无法移动就算失败。若甲先走,甲有胜乙的办法吗?B 乙4.有100人站成一排,从左到右依次进行1,2报数,凡是报1的人离开队伍,剩下的人继续从左到右进行1,2报数,如此下去,最后剩下的是原来队列中的第几个人?5.现有7根火柴,甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根,直到取完为止,最后计算各人所得火柴总数,得数为偶数者获胜,问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略?B级 培优竞赛更上层楼6.两堆火柴分别有26根和28根,甲乙两人轮流从这两堆火柴中取火柴,每次可以从任意一堆里取出任意多根,但不能不取,也不能同时从两堆里取,规定得到最后一根火柴的人获胜,问甲要采取
14、怎样的策略才能获胜。7.甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒、2粒或3粒,取到最后一粒的是胜利者,你以为先取的能获胜,还是后取的能获胜?应采取什么策略?8.一副扑克有54张,两人轮流拿,每人每次只能拿1到4张,谁拿到最后一张就算输,问先拿的人怎样确保获胜? b cd ef g h9.有一个33的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片,9张卡片分别写有:1,3,4,5,6,7,8,9,10这几个数。小兵和小强两人做游戏,轮流取一张卡片放在9格中的一格,小兵计算上、下两行6个数的和,小强计算左、右两列数的和,和数大的一方取胜,怎么才能获胜?10.在55在棋盘的右上角放一枚棋子,每一步只能向左、向下或
15、者向左下对角线走一格,两人交替走,谁先到达左下角,谁为胜者,必胜的策略是什么?C级(选学)决胜总决赛勇夺冠军11在黑板上写n1(n3)个数:2,3,4,n,甲、乙两人轮流从黑板上擦去一个数,如果最后剩下的两个数互质,则乙胜,否则甲胜。问:(1)n取什么值时甲必胜?(2)n取什么值时乙必胜?12.有1000根火柴,甲、乙两人轮流取,规定每次可以取1到10根火柴,谁取到最后一根火柴就获胜。如果甲先取,谁有必胜的策略?13.甲、乙两人轮流黑板上写下不超过10的自然数,规定禁止在黑板上写已写过的数的约数,最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写,谁一定获胜?写出一种获胜的方法。14.甲、乙两人轮流从分别写1,2,3,99的99张卡片中任意取走一张,先取卡的人能否保证在他取走第97张卡片时,使剩下的两张卡片上的数一个是奇数,一个是偶数?15.两个人进行如下游戏,即两个人轮流从数列1,2,3,100,101中删去9去数,经过这样的11次删除后,还剩下两个数,如果这两