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1、第27讲 巧做游戏与对策巧点晴方法和技巧“余数制胜法”“对称制胜法”“例推法”等都是游戏与对策的常用思考方法。巧指导例题精讲我国古代有一个“田忌赛马”的故事：齐王经常要求和将军田忌赛马，规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。它告诉我们：在竞争时，要认真分析研究，寻找并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。在20
2、世纪形成了对策论这门新兴科学，专门研究这种思想。A级 冲刺名校基础点晴【例1】有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能取胜？分析与解 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况：当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况可设法将它化为特殊情况。甲从16根的那堆中先取出（1611=）5根，使两堆火柴根数相同，然后每次根据对手取的根数在另一堆中取相同的根数，使两堆火柴数保持相等，直至取到最后一次火柴而获胜。小结 当乙先取时，如果他不知道获
3、胜的策略，那么甲可以利用乙的错误取胜。做一做1 桌面上有2000根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜，问甲获胜的策略是什么？【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分放好的硬币不再移动。谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候他就赢了。请说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。分析与解 采用“对称”思想。设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜。对于一般较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某一个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币。按此方法，
4、只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方，放上一枚硬币。由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜。做一做2 两个小朋友各持有同样大小的圆纸片若干张，他们轮流把纸片放到一张长方桌面上（桌面比圆纸片大），纸片边缘不越出桌面而且互相不重叠。轮到谁无法放圆纸片时，就算谁失败，问有什么办法可以取胜？【例3】一张310的长方形网格纸有30个小方格，甲、乙两人轮流在切纸机上沿方格线的直线剪一切。甲将一分分为两份，先送一份给乙，由乙按同样要求再剪。然后乙又选送一份给甲，甲再这样剪如此重复。谁送给对方的只有一个方格谁就获胜。问甲要想获胜有何策略？
5、分析与解 先考虑正方形的纸，这时后剪的都可以使图形再变成（较小的）正方形，直到取得胜利。甲先应当剪下73与33的两块，把33的那块送给乙，乙只能剪成13和23的两块。若送13给甲，正好可使甲获胜；若送23给甲，那么甲再一切剪成12与22的两块，把22的那块送给乙。乙只可能切成12的两块。其中一块给甲，正好可使甲剪下一个方格给乙获胜。做一做3 甲、乙两人在1100（100个格子）的长条纸上，从左向右移动一枚棋子（这枚棋子在第一格上）。移动规则是：最少移动1格，最多移动3格，将棋子移到最后一格者为输。问甲有无获胜的策略？B级 培优竞赛更上层楼【例4】两个人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，
6、但是不能不数。例如，第一个人数1和2，第二个接着往下数，他们可以数3，也可以数3和4，也可以数3，4，5。如此继续下去，谁数到100，就算谁胜。请试一试，怎样才能获胜？分析与解 要抢到100，必须先抢到96。这时另一个只能数97，或数97，98，或数97，98，99，无法数到100。如何才能保证数到96呢？又必须抢到92。依此类推，得到一列数92，88，8，4。只要抢到这些中任何一个，然后当对方报（13）个数，这样就能继续抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100。但无论第一个报什么数，第二个都可以抢到4第一个人报3时，第二个人就报（4）个数时，因此第二人有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，
7、第一个人才能获胜。小结 想一想 如果将100改为99或101，其他条件均不变，先数的人能否获胜呢？做一做4 甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的非零自然数。把两人报的数逐次相加，谁的和正好达到8，谁就获胜。问甲欲胜有何策略？【例5】甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的非零自然数，把两人报出的数的和依次加起来，谁报数后加起来的和是2000，谁就获胜。如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？分析与解 采用倒推法（倒推法是解决这类问题的一种常用的数学方法）。由于每次报的数是16的自然数，20001=1999，20006=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是199
8、41999，由于19941=1993（或19996=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993。同样，由于19931=1992，19936=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是19871992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986。同样，由于19861=1985，19866=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是19801985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，以此类推。把甲报完数后加起来得到的和从后往前进行排列：2000，1993，1986，1979，。观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差=d=7，这些数被7除都余5。
9、因此这一数列的最后三项为：19，12，5。所以甲要获胜，必须先报5。因为125=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（即73）。甲要获胜必胜先报，甲先报5；以后，乙报几，甲就接着报7减几。这样甲就一定能获胜。做一做5 甲、乙两人轮流报数，必须报14的自然数，报两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜，如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？【例6】有1994个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛的规则是：甲、乙轮流取球，每人每次取1个、2个或3个，取最后一个球的人为失败者。（1）甲先取，为了取胜，他应采取怎样的策略？（2）乙选拿了3个球，
10、甲为了取胜，应当采取怎样的策略？分析与解 为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为11994号。取球时先取序号小的球，后取序号大的球。还是采用倒推法：甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在倒数一次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个数是1993（也许他取的球不止一个）。为了保证能做到这一点，就必须使乙倒数第二次所取的球的序号为1990（即19933）1992（即19931）。因此，甲在倒数第二次取数时，必须使自己所取的球中序号最大的一个是1989。为了保证能做到这一点，就必须使乙倒数第三次取球时，必须使他自己所取球中序号最大的一个是1985。把甲每次所取的球中序号最大的倒着排
11、列起来，1993，1989，1985，。观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1。因此，甲第一次取球时应取1号球，然后乙取个球，因为（4）=4，所以为了确保甲能从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取（4）个球。这样就能保证甲必胜。由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号被4除余1的球。现在乙先拿了3个，甲就应拿53=2（个）球，以后乙取个球，甲就取（4）个球。（1）甲为了获用，甲应先取1个球，以后乙取个球，甲就取（4）个球；（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取个球，甲就取（4）个球。做一做6 54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次
12、只能拿1张到3张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？巧练习温故知新（二十七）A级 冲刺名校基础点晴1.两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“象”，一方为黑棋，一方为白棋。任何一方放入“象”时，要保证不被对方己放的“象”吃掉，谁无法放入棋子为输。问必胜策略是什么？2.有两个箱子分别装有63个和108个球。甲、乙两个人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的人为胜。问若甲先取，他应如何做才能取胜？3.下图是一张棋盘（29）。甲置白子于A位，乙置黑子于B位，随后两个人轮流走子，每一步可沿一条横线或竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：（1）不允许和对方的棋子处在同一条横线或竖线；（2）
13、不能越过对方所在的横线或竖线。甲A轮到谁的棋子无法移动就算失败。若甲先走，甲有胜乙的办法吗？B 乙4.有100人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，如此下去，最后剩下的是原来队列中的第几个人？5.现有7根火柴，甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？B级 培优竞赛更上层楼6.两堆火柴分别有26根和28根，甲乙两人轮流从这两堆火柴中取火柴，每次可以从任意一堆里取出任意多根，但不能不取，也不能同时从两堆里取，规定得到最后一根火柴的人获胜，问甲要采取
14、怎样的策略才能获胜。7.甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒、2粒或3粒，取到最后一粒的是胜利者，你以为先取的能获胜，还是后取的能获胜？应采取什么策略？8.一副扑克有54张，两人轮流拿，每人每次只能拿1到4张，谁拿到最后一张就算输，问先拿的人怎样确保获胜？ b cd ef g h9.有一个33的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和，小强计算左、右两列数的和，和数大的一方取胜，怎么才能获胜？10.在55在棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、向下或
15、者向左下对角线走一格，两人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者，必胜的策略是什么？C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军11在黑板上写n1（n3）个数：2，3，4，n，甲、乙两人轮流从黑板上擦去一个数，如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。问：（1）n取什么值时甲必胜？（2）n取什么值时乙必胜？12.有1000根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1到10根火柴，谁取到最后一根火柴就获胜。如果甲先取，谁有必胜的策略？13.甲、乙两人轮流黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。14.甲、乙两人轮流从分别写1，2，3，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？15.两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，100，101中删去9去数，经过这样的11次删除后，还剩下两个数，如果这两
