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1、2.5等比数列的前n项和(1)课前预习 温故知新学前温习1等比数列的定义： 2等比数列的通项公式： 3还记得等差数列的前n项和公式吗？若是等差数列，则 .新课感知等比数列的前n项和公式 当时， 或 当时， 课堂学习 互动探究知识精讲1.等比数列的前n项和公式的推导（1）公式的推导方法一(错位相减法)：。由等比数列的通项公式可知： （1） （2）得：当时，等比数列的前项和公式为= 当时(2).公式的推导方法二(等比性质法)：有等比数列的定义，根据等比的性质，有即 （结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三（方程法）： （结论同上）2. 等比数列前n项
2、和公式的理解（1）在等比数列中的通项公式和求和公式中涉及a1，q，an，Sn，n五个量，只要知道了其中的三个量就可以通过解方程组的方法求出另外两个量，但等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等比数列问题中，要紧紧抓住这两个量（2）等比数列的求和要分公比等于1和不等于1两种情况，在不能确定公比取值的情况下，要分类求和（3）等比数列的求和公式的函数理解当时应按常数列求和，即，是关于n的正比 函数；当，等比数列的前n项和可以看作是一个指数型函数与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即非常数列为等比数列 。3.错位相减法若数列为等差数列，数
3、列是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为，当求该数列的前n项的和时，常常采用将的各项乘以公比q，并项后错位一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法应用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比1这一前提条件如果不能确定公比是否为1，应分两种情况讨论。课堂点拨 1、在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5；(3)若q2，S41，求
4、S8.解析： (1)由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，2n.189a1(2n1)a1，a13.又2n132，n6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q3831，S5.(3)方法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.方法二：S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.【点拨】在等比数列的五个量，q，n，中，与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用与q列方程组求解 2、 已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析： (
5、1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(1) 设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故，.所以，当n1时，a111，所以Sn.综上，数列的前n项和Sn.【点拨】错位相减是数列求和的一种重要方法, 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.但值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养.当堂达标1在等比数列中，则公比等于 （ ）A. 4 B. 2 C. D. 或42某工厂去年产值为，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为 （ ）A. B. C. D. 3、若等比数列
6、的前项和，则 （ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 4已知公比为的等比数列的前项和为，则数列的前项和为 （ ）A. B. C. D. 5.设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）6.设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 7设等比数列的公比，前项和为，则 8设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330，求an和Sn.9. 已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式10 已知等比数列 中，的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）记= ,求数
7、列 的前n项和.学后复习自主测评 感悟探究（九）（时间30分钟 ）1在等比数列an中，若a11，a4，则该数列的前10项和为( )A2 B2 C2 D22在等比数列中，公比q2，S544，则a1的值为( )A4 B4 C2 D23. 等比数列的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4( )A7 B8 C15 D164.已知数列an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1( )A16(14n) B16(12n) C.(14n) D.(12n)5.设为等比数列的前项和，已知，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）66.在等比数列an中，已知2n1，则a12
8、a22an2等于_7. 在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.8. 在等比数列 an 中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.9. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列10. 求数列1，3a，5a2，7a3，(2n1)an1的前n项和(a0)2.5等比数列的前n项和第一课时 等比数列的前n项和当堂达标1、 C 2、 D 3、 D 4、 D 5、D 6、答案 -9 7、答案：158、解析：设
9、an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.9、解析：(1)设等差数列an的公差为d，因为a36，a60，所以解得a110，d2，所以an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以bn的前n项和公式为Sn4(13n)10、（1） （2）感悟探究（九）1、选B 解析： 因为a4a1q3q3，所以q，所以S102.故选B.2、选A 解析： S544a14，故选A.3、选C 解析：4a1,2 a2，a3成等差数列，4a1a34a2，即4a1a1q2
10、4a1q，所以q24q40，解得q2，所以S415.4、选C解析：由a5a2q32q3，解得q.数列anan1仍是等比数列，其首项是a1a28，公比为.所以a1a2a2a3anan1(14n)5、选B 解析:两式相减得， ，.6、答案(4n1) 解析： 设等比数列an的前n项和为Sn，则Sn2n1.易知等比数列an的公比q2，首项a11，an2n1，于是an24n1， a12a22an214424n1(4n1)7、答案2 2n1 解析： 由a4a1q3q34，可得q2；因此，数列|an|是首项为，公比为2的等比数列，所以|a1|a2|an|2n1.8、解析： a1ana2an1128，又a1a
11、n66，或.Sn126，ana1qn1，或.9、解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为 bn2n152n3.(2)证明：由(1)得数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此是以为首项，公比为2的等比数列10、解析： 当a1时数列变为1,3,5,7，2n1，则Snn2.当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，即(1a)Sn1(2n1)an，Sn.
