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1、第三章 导数与微分第一节 导数的概念一 两个引例引例1.已知某物体做自由落体运动，其运动规律（即位移函数）为，.试讨论时刻落体的速度（）.解：先取一邻近于的时刻，落体在这一段时间内的平均速度为 因为，在处连续，所以反映了落体在时刻的近似快慢程度，显然当越接近于时，这种近似精确度越高. 于是，定义 （1）一般地，一质点做直线运动，设其位移函数为，若为某一确定的时刻，则称极限为质点在时刻的速度或变化率.引例2.设有曲线，试求曲线上点处切线的斜率.假设在处连续.解：首先要明确一个概念：何谓曲线在处的切线？它应该定义为曲线在点处割线的极限位置，因此切线的斜率就应该是割线的斜率取极限.（作图） 在曲线上
2、的附近任取一点Q，可作一条割线Q，设，则 显然当Q越接近于点，这种近似计算的精确度越高.于是，令 （2）注意：引例1与引例2的实际背景相差很大，但最后要求的量的数学结构却完全相同，将他们在数量关系上的共性抽象出来，就有下面的导数的概念.二.导数的概念1.定义1：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为2.导数的等价定义：如果记，则定义1可改为：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为3.导数的另一种等价定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处
3、可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为注意：（1）导数定义的本质是变化率的极限，至于表现为何种极限形式，这没有本质的区别，我们在使用时可根据需要选择其中的一种.但根据我的经验，定义1在实际计算时用得教多；而第一种等价定义在理论证明时用得教多；最后一种等价定义则很少用，只在一些考察导数概念的习题中偶尔出现. （2）如果不存在，则称函数在处不可导.4.左、右导数的定义：若设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处左可导，称为函数的左可导点，且称上述极限值为函数在处的左导数，记为；类似地可定义. .显然有定理1.在处可导在处左可导且在处右可导.5.导数的几何意义：曲
4、线在点处切线的斜率；（请同学们自己写出曲线在点处切线及法线的方程.）导数的物理意义：做变速直线运动的物体的瞬时速度、加速度.要特别关注处的导数定义形式：；若更特殊，还有，则.例1 已知曲线，试求在处的导数.解：这里 因为例2 已知=A，试求下列极限的值 （1） （2）.例3研究函数在处的可导性.解：因为，所以； 同理，可求得 由于，所以在处不可导.注意：大家还记得在上一章，我们证明了在处是连续的,那函数在一点处连续与可导之间究竟有何联系？请看下面的三可导与连续间的关系定理2.设函数在内有定义，则若在可导则必在处连续；反之未必，即若在连续，在处未必可导.证明：（必要性）设若在可导， 即存在， 则
5、， 反之，可以例3为反例.四.导函数1.定义2.若函数在内每一点处都可导则称为在内可导的函数；若在内满足：（1）在内可导；（2）都存在，则称在上可导的函数.一般地，设在区间I上可导，对，则极限存在，且它是区间I上关于的一个函数，称之为在区间I上的导函数，记为或简记为. 注意：（1）记号是莱布尼兹首先引用的，物理学中牛顿用记号表示； （2）是一个整体记号，不可理解为除以，但可把理解为对函数施行求导数运算（3）导函数在处的值为：，这正是以第一种等价定义形式定义的函数在处的导数值.上式揭示出导函数与函数在一点处的导数值之间的关系，在以后，我们就很少单独某一个函数在具体点处的导数值，而试图算出常见函数
6、的导函数的表达式，并把它背下来.当需要实际计算在具体点处的导数值时，只须将该点代入导函数的表达式.有同学可能会有疑问：常见函数非常多，如何能做到求出所有这些常见函数的导数，并且还会背？其实，我们只需要会求、会背基本初等函数的导函数，再结合为数不多的几个求导法则，即可顺利求出任何一个初等函数的导函数. （4）今后，在不至于引起混淆的情况下，也将导函数简称为导数.大家可以从记号上轻易看出到底要求的是导数还是导函数.例4，求；例5求；注意：其实有,为实数） 练习：求.例6，求；注意：特别地，例7，求；注意：特别地.例8，求；自做，求； 看这意思，我准备求出所有基本初等函数的导数表达式.不错！我这一次
7、课的最终目标是要建立起一个基本导数表（见书第111页）.但我下面不准备继续按导数的定义来求剩余的基本初等函数的导数，因为他们可以在下一节利用求导法则来计算.第三章 导数与微分第二节 求导的法则一四则求导法则 定理1.若函数均在可导，则（1） 函数在也可导，且；（2） 函数在也可导，且；（3） 函数在也可导，且.证明：只证第一个.推论1.；推论2.推广：（1）三个以上的函数的线性组合求导： （2）三个以上函数的乘积求导（以三个为例） .例1求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例2求的导数.例3.求的导数. . 注意：为复合函数，从上例可见，对复合函数求导不可直接套用基本导数表，等一会儿
8、，我们将专门讨论复合函数的求导问题.例4求；自求；例5求；自求二.反函数求导法则 定理2.若函数，其反函数为.若在的某邻域 内连续、严格单调且，则在点可导，且 -（1） 证明:设 所以，. 已知在的某邻域 内连续、严格单调且，则其反函数相应的邻域 内也连续且严格单调.于是，当时，有 .当时，有. 从而， 故例6求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据定理2，有 .练习：自己求出.（可利用恒等式）例7求的导数.解：设原函数为，则其反函数为. 根据定理2，有 . 自己求得：.注意：以上例6、例7的结果要求会背.三复合函数求导法则 引例：大家可能还有印象：复合函数的导数是 .（与直接套用基本导数表
9、相比，这个2从何而来？）如果记，则 ， 故此题恰好满足等式： （*） 这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理3.若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且 或 （或-（2） 称上式为复合函数求导的链式法则,证明：设处获得增量,由，则u相应地也获得增量；再由，则相应地也获得增量. 已知处也可导，所以 ，所以， ，其中.故，. 当，可能有=0；当时，显然有，=0，从而上式也成立，但此时没有定义，为使当时也有意义，将在点0处作连续开拓，定义. 上式两端用除之，有：因为可导必连续，故当时，有，从而， 所以， .所以，获证.注意：复合函数的链式
10、求导法则可推广至复合两次以上的情形，如： 对函数，如记，则各变量间的关系是： 有-（3）（4） 式可通过连续使用两次（2）式得到.大家不难将（3）式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例8求的导数.解：记，则,由（2）式，有 注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？（2）正确写法是： ；（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代; (4) 显然中间变
11、量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，不会改变最后的结果.（5）现在我可以解答在第0章中一个不太好回答的问题了：将复合函数分解，究竟分解到何时为止？答：分解到无须用链式法则为止.例2求的导数.解：记，则. 例3求的导数.解：先将分解为基本初等函数，即 . 由（3）式，得注意：既然例3中最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程.例4（重做例3）解：注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，只至去掉最后一层.打个形象的
12、比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法.（2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允许用第二种写法.（4）有一种较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误.例4求的导数.解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型. =.例5求的导数.解： 练习：1.求的导数.2求；3 求的导数.注意：其实最难的还是抽象的复合函数的求导，因为最容易犯记号错误.例6，求y的导数.注意：要纠正几种常见的错误.例7，求
13、y的导数.例8设，若有导数,证明：.证明： 其中, 是因为(无穷小)且(有界量).例9证明：若为偶，且在处可导，则.证1 ：因为 上式两边同时求导： -（*） （*）式中，以代入，则.注意：证法1是错的，为何？而下面的证法2是对的：证2： 例10设且证明：证明：因为又所以， 注意：证明的过程中用到了下述结论：如果 存在，则 也存在.例11确定的值，使（）在内处处可导，并求它的导函数.解：（一）因为可导必连续，所以在处连续，即 .-（1） 其中，；所以，.因此，必有，；（二）因为以在处可导，所以，应满足： .其中，.所以，.且：例12.设在内有定义,且对任意的都有 (1).又,求.解:由定义 因为(1)式,所以 (2)又因为故 (3) 因此 例13.已知是周期为5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式
