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1、工科高等数学A班选修讲义（2）（4+4=8学时）第九章 多元函数微分学一、二元函数连续、偏导和可微（微分）1.基本概念定义 1 二元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域.定义 2 二元函数的几何意义 二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xoy平面上的投影域就是定义域D.例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xoy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆.定义3 极限 当点以任何方式趋于点时,函数值无限接近常数，则称是函
2、数在点的极限，记作定义4 连续 如果，则称函数在点上连续若内每一点皆连续，则称在D内连续.定义5 偏导数 设，函数在点关于变量的偏导数为记作，或类似的，定义函数在点关于变量的偏导数为记作，或 定义6 可微 设函数在点是可微的，如果其中，是与无关的常数定义7 全微分 函数的全微分： 函数在点的全微分：注1 二元函数的极限：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于注2 偏导数的几何意义：是曲面与平面交线上的点的切线关于轴的斜率类似解释几何意义 注3 可微的几何意义： 函数在点是可微，则在曲面上的点存在切平面.注 4 对连续、偏导存在和可微的直观理解：（1）一点连续只需这点的邻域的曲面连接不断；
3、（2）一点偏导存在只需在这点的邻域的曲面沿轴方向和轴方向平稳、光滑；（3）一点可微要求这点邻域的曲面任意方向都平稳、光滑.2. 基本结论定理1（连续、偏导存在和可微关系定理） （1）可微偏导存在，连续； （2）偏导存在和连续没有必然关系 （3）偏导存在+偏导函数连续可微 定理2（偏导和顺序无关） 二阶混合偏导连续，则二阶混合偏导相等，即和求导顺序无关 定理3（二元连续函数的性质）若二元函数在有界闭区域上连续，则（1）有界性 在上有界，即存在，使得，（2）最值性 设分别是函数在上的最小值和最大值，则存在，使得，. （3）介值性 ，都存在点，使得 定理4（二元初等函数性）一切二元初等函数在其定义区
4、域内都是连续的3. 计算（讨论）二元函数极限、连续、偏导和可微（微分）的基本方法 题型1 求二元函数的极限 （1）将二元函数转换成或看成一元函数的极限；（2）放大和缩小，利用夹逼法则；（3）原点的极限，可以作极坐标变换（这是求二元函数极限特有的方法）例1 求下列二元函数的极限：（1）； （2） 题型2 证明二元函数极限不存在 （1）找一条通过极限点的路线（直线或曲线）使极限不存在 （2）找两条通过极限点的不同的路线（直线或曲线）使极限不相等例2 证明下列二元函数在点的极限不存在：（1）； （2） 题型3 求多元函数的偏导数：定义法和公式法 例3 求在点的关于和的偏导数 例4 求函数在点处的偏导
5、数题型4 讨论在点可微性 （1）计算偏导数和；（2）计算和（3）求极限若等于0，则在点可微，否则不可微 例5 讨论二元函数在点处的连续性、偏导存在性和可微性 题型5 求复合函数偏导数和高阶偏导数 1. 明确复合函数的自变量、中间变量以及中间变量的个数如果复合函数是具体函数，中间变量的个数根据函数变量“个数”确定；如果复合函数是抽象函数，中间变量的个数根据函数的“项数”确定 2. 链式求导法则函数对某一自变量的偏导(全导)等于：该函数对第一个中间变量的偏导乘以第一个中间变量对此自变量的偏导(全导)，加这个函数对第二个中间变量的偏导乘以第二个中间变量对此自变量的偏导(全导)，等等直至加这个函数对最
6、后一个中间变量的偏导乘以最后一个中间变量对该自变量的偏导(全导)例如：模型I. 设则 ； 模型II. 设 则 ， 模型III. 设则3. 关于中间变量的偏导的表示设函数，函数对的偏导可表示为，和在解题过程中，用表示比较方便特别地，若中间变量不是单独一个字母，只能用位置来表示，即，这里的1表示第一个中间变量4. 关于中间变量的高阶偏导的表示当对一阶偏导函数如的某自变量再求偏导时，把当作普通的函数符号，自变量和中间变量以及中间变量的个数和函数完全相同对偏导函数的第几个中间变量求偏导，就在符号后面下角标添加数字和上角标添加偏导符号(撇)如对的第二个中间变量求偏导，我们就在后面下角标添加“2”和上角标
7、添加“”，记作 例6 设，具有二阶连续偏导数，求，例7 设，且具有二阶连续偏导数，求和 题型6 求隐函数和隐函数组的偏导数1 由方程确定了一元隐函数：则有，两边对变量求导，有，所以有；2 由方程确定的二元隐函数的导数：同上有； 3 由方程组确定的一元隐函数组，求和：具体方法：对方程两边，分别对变量求偏导，此时都是的函数，则有，用克莱姆法求出：； 4 由方程组，确定隐函数的偏导数，求具体方法：对方程两边，分别对变量求偏导，此时注意都是的函数，常量，则有，用克莱姆法则求出：；对方程两边，分别对变量求偏导，此时注意都是的函数，常量，则有，用克莱姆法则求出： 例8 设，求 例9 设，求，和 题型7 求
8、二元函数的方向导数和梯度 （1）方向导数：，其中，是方向的方向余弦方向导数的几何意义：表示函数在曲面上的点，沿方向的变化率.的绝对值越大，变化越快；反之，变化越慢. （2）梯度：函数在点的梯度（3）方向导数和梯度关系：，其中关于方向导数基本结论：（1）当时，即当方向与梯度的方向相同时，函数增加最快(变化最快)，此时方向导数达到最大值，其最大值等于梯度的模，即（2）当时，即当方向与梯度的方向相反时，函数减少最快(变化最快)，此时方向导数达到最小值，其最小值等于梯度模的相反数，即（3）当时，即当方向与梯度的方向正交（垂直）时，函数变化率为零，即例10 求函数 在点处沿从点到点方向的方向导数 例11
9、 设，求（1）在点处增加最快的方向以及沿此方向的方向导数；（2）在点处减少最快的方向以及沿此方向的方向导数；（3）在点处变化率为零的方向二、 二元函数的极值与最值1. 基本概念定义1 极值与极值点：设在的某邻域有定义，若，有（），则称是函数的极小值点（极大值点），函数值就是极小值（极大值）定义2 条件极值：求函数在条件和下的极值就是条件极值定义3 驻点：方程组，的解，称为函数的驻点.2. 基本方法 题型1 求二元函数的极值点：具体方法和步骤1 求驻点：求方程组的解，不妨设为一个解2 判断驻点是否为极值点：求函数在点的二阶偏导数如果判别式，则是极值点，若或，则是极小值点，若或，则是极大值点；如果
10、判别式，则不是极值点；如果判别式，无法判断（不确定） 例1 求由方程所确定的函数的极值题型2 求条件极值：拉格朗日乘数法的具体方法和步骤1 引入拉格朗日函数 ；2 求偏导函数，并令其等于0，建立方程组；3 并解其方程组，得到解.一般的，若这样的解唯一，则根据实际问题，若实际问题有最大值，该点就是最大值点；若实际问题有最小值点，该点就是最小值点例2 抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆上的点到原点的最长和最短距离题型3 求二元函数的最值方法：基本方法和步骤1 求二元函数在边界的最值；2 求二元函数在区域内部的驻点及偏导数不存在的点及函数值；3 比较上述点的函数值和最值，最大者就是函数在这个区域的
11、最大值；最小者就是函数在这个区域的最小值 例3 求函数在由轴，轴和直线所围城的闭区域上的最大值和最小值例4 求函数在闭区域上的最大值和最小值三、二元函数微分学在几何上的应用题型1 求空间曲线的切线和法平面方程方法（1）曲线以参数方程形式给出：，过曲线上的点，切线的方向向量和法平面方程法向量为 .切线方程：；法平面方程：.（2） 曲线以两个相交曲面形式给出：， 过曲线上的点，切平面的法向量和法线方向向量为 ， 或切平面方程：；法线方程： .例1 求曲线，在点处的切线方程与法平面方程例2 求曲线，在点处的切线方程及法平面方程题型2 求曲面的切平面方程和法线方程曲面方程为，过曲面上的点的切平面的法向
12、量或法线的方向向量是切平面方程：；法线方程：. 例3 求球面在点处的切平面方程及法线方程练习题一、选择题1.函数 A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值2.二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的 A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件3.二元函数在点处可微是在该点连续的 A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件4.二元函数在点处连续的是在点处可微的 A. 必要而非充分条件 B.
13、 充分而非必要条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件5 设，则 A. B. C. D. 6为使二元函数在全平面内连续，则它在处应被补充定义为 A.-1 B.0 C.1 D.37若，则在点 处有. A. B. C. D. 2、 填空题1. 函数u=ln ()在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 2. 已知是可微函数，则 3函数的间断点是 4. 曲面在点处的法线方程为 5设有函数，则 6曲面上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 三、求二元函数的定义域1 求函数的定义域2 求函数四、有关二元复合函数问题3 设4 设5 设五、有关二元函数的极限问题6 讨论7 讨论六、有关偏导数问题8 求 的偏导数9 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定 10 设
