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1、【课时训练】空间点、线、面的位置关系一、选择题1(2018佛山模拟)设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,a,b,则“”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a,b,则由,bb,又a,所以ab;若ab,a,b,则b或b,此时或与相交,所以“”是“ab”的充分不必要条件,故选A.2(2018福州质检)在三棱柱ABCA1B1C1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条【答案】D【解析】在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个
2、平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交3(2018南昌二模)对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A平行B相交C垂直D互为异面直线【答案】C【解析】不论l,l,还是l与相交,内都有直线m,使得ml.4(2018广州模拟)在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,则()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上,也可能在BD上DM既不在AC上,也不在
3、BD上【答案】A【解析】由于EFHGM,且EF平面ABC,HG平面ACD,所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点而这两个平面的交线为AC,所以点M一定在直线AC上故选A.5(2018余姚模拟)下列命题中,正确的是()A若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线B若a,b是两条直线,且ab,则直线a平行于经过直线b的所有平面C若直线a与平面不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线a平面,点P,则平面内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条【答案】D【解析】对于A,当,a,b分别为第三个平面与,的交线时,由面面平行的性质可知ab,故A错误对于B,设a,b确定的平
4、面为,显然a,故B错误对于C,当a时,直线a与平面内的无数条直线都平行,故C错误易知D正确故选D.6(2018江西七校联考)已知直线a和平面,l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面【答案】D【解析】依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面7(2018合肥质检)已知l,m,n为不同的直线,为不同的平面,则下列判断正确的是()A若m,n,则mnB若m,n,则mnC若l,m,m,则mlD若m,n,lm,ln,则l【答案】C【解析】m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;根据面面垂直与线面
5、平行的性质可知B错误;根据线面平行的性质可知C正确;若mn,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.8(2018江西六校联考)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为四边形ABCD为正方形,故CDAB,则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角,即为PAB.在PAB内,PBPA,AB2,利用余弦定理可知cosPAB,故选B.二、填空题9(2018福建六校联考)设a,b,c是空间中不重合的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交
6、;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错10(2018南昌高三期末)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形ACB90,AC6,BCCC1,P是BC1上一动点,则CPPA1的最小值为_【答案】5【解析】连接A1B,将A1BC1与CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1,则此时对角线CPPA1A1C达到最小,在等腰直角三角形
7、BCC1中,BC12,CC1B45,在A1BC1中,A1B2,A1C16,BC12,A1CBCA1B2,即A1C1B90.对于展开形成的四边形A1BCC1,在A1C1C中,C1C,A1C16,A1C1C135,由余弦定理有CPPA1A1C5.11(2018深圳调研)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直以上四个命题中,正确命题的序号是_【答案】【解析】把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成6
8、0角,DEMN.12(2018郑州质检)如图,矩形ABCD中,AB2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点,则在ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是_BM是定值;点M在某个球面上运动;存在某个位置,使DEA1C;存在某个位置,使MB平面A1DE.【答案】【解析】取DC的中点F,连接MF,BF,MFA1D且MFA1D,FBED且FBED,所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值,所以M是在以B为圆心,MB为半径的球上,可得正确;由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE,可得正确;A1C在平面ABCD中
9、的投影与AC重合,AC与DE不垂直,可得不正确三、解答题13(2018长春一模)已知几何体ABCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,求异面直线DE与AB所成角的余弦值【解】如图,取EC的中点F,连接BF,AF,则BFDE,FBA为异面直线DE与AB所成的角或其补角在BAF中,AB4,BFAF2,则cosFBA,异面直线DE与AB所成角的余弦值为.14(2018江西宜春模拟)如图所示,三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC60,PAABAC2,E是PC的中点(1)求证AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值(1)【证明】假设AE与PB共面,设平面为,A,B,E,平面即为平面ABE.P平面ABE.这与P平面ABE矛盾,AE与PB是异面直线(2)【解】如图,取BC的中点F,连接EF,AF,则EFPB,所以AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角BAC60,PAABAC2,PA平面ABC,AF,AE,EF,cosAEF.故异面直线AE与PB所成角的余弦值为.