《高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节两个基本计数原理课件理新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节两个基本计数原理课件理新人教A版.ppt（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1节两个基本计数原理 考试要求了解分类加法计数原理 分步乘法计数原理及其意义 知识梳理 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n m n 3 分类加法和分步乘法计数原理 区别在于 分类加法计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步乘法计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这
2、件事 微点提醒 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础 并贯穿其始终 1 分类加法计数原理中 完成一件事的方法属于其中一类 并且只属于其中一类 2 分步乘法计数原理中 各个步骤相互依存 步与步之间 相互独立 分步完成 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 解析分类加法计数原理 每类方案中的方法都是不
3、同的 每一种方法都能完成这件事 分步乘法计数原理 每步的方法都是不同的 每步的方法只能完成这一步 不能完成这件事 所以 1 4 均不正确 答案 1 2 3 4 2 选修2 3P28B2改编 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有 A 24种B 30种C 36种D 48种 解析需要先给C块着色 有4种结果 再给A块着色 有3种结果 再给B块着色 有2种结果 最后给D块着色 有2种结果 由分步乘法计数原理知共有4 3 2 2 48 种 答案D 3 选修2 3P5例3改编 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺
4、书 第3层放有2本不同的体育书 从书架中任取1本书 则不同取法的种数为 解析从书架上任取1本书 有三类方法 第1类方法是从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2类方法是从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3类方法是从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分类加法计数原理 不同取法的种数是N m1 m2 m3 4 3 2 9 答案9 4 2016 全国 卷 如图 小明从街道的E处出发 先到F处与小红会合 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24B 18C 12D 9解析分两步 第一步 从E F 有6条可以选择的最短路径 第二步 从F G 有3条可
5、以选择的最短路径 由分步乘法计数原理可知有6 3 18条可以选择的最短路径 故选B 答案B 5 2019 杭州模拟 教学大楼共有五层 每层均有两个楼梯 由一层到五层的走法有 A 10种B 25种C 52种D 24种解析每相邻的两层之间各有2种走法 共分4步 由分步乘法计数原理 共有24种不同的走法 答案D 解析因为焦点在x轴上 m n 以m的值为标准分类 分为四类 第一类 m 5时 使m n n有4种选择 第二类 m 4时 使m n n有3种选择 第三类 m 3时 使m n n有2种选择 第四类 m 2时 使m n n有1种选择 由分类加法计数原理 符合条件的椭圆共有10个 答案10 考点一分
6、类加法计数原理的应用 例1 1 从甲地到乙地有三种方式可以到达 每天有8班汽车 2班火车和2班飞机 一天一人从甲地去乙地 共有 种不同的方法 2 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 解析 1 分三类 一类是乘汽车有8种方法 一类是乘火车有2种方法 一类是乘飞机有2种方法 由分类加法计数原理知 共有8 2 2 12 种 方法 2 当a 0时 b的值可以是 1 0 1 2 故 a b 的个数为4 当a 0时 要使方程ax2 2x b 0有实数解 需使 4 4ab 0 即ab 1 若a 1 则b的值可以是 1 0 1 2 a b 的个数
7、为4 若a 1 则b的值可以是 1 0 1 a b 的个数为3 若a 2 则b的值可以是 1 0 a b 的个数为2 由分类加法计数原理可知 a b 的个数为4 4 3 2 13 答案 1 12 2 13 规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在 应抓住题目中的关键词 关键元素和关键位置 1 根据题目特点恰当选择一个分类标准 2 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法 不能重复 3 分类时除了不能交叉重复外 还不能有遗漏 如本例 2 中易漏a 0这一类 训练1 1 从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会 则不同的选法种数
8、为 A 6B 5C 3D 2 2 从集合 1 2 3 10 中任意选出三个不同的数 使这三个数成等比数列 这样的等比数列的个数为 A 3B 4C 6D 8 解析 1 5个人中每一个都可主持 所以共有5种选法 2 以1为首项的等比数列为1 2 4 1 3 9 以2为首项的等比数列为2 4 8 以4为首项的等比数列为4 6 9 把这4个数列的顺序颠倒 又得到另外的4个数列 所求的数列共有2 2 1 1 8 个 答案 1 B 2 D 考点二分步乘法计数原理的应用 例2 1 用0 1 2 3 4 5可组成无重复数字的三位数的个数为 2 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 则不同的报名方法的种数
9、为 五名学生争夺四项比赛的冠军 冠军不并列 则获得冠军的可能性有 种 解析 1 可分三步给百 十 个位放数字 第一步 百位数字有5种放法 第二步 十位数字有5种放法 第三步 个位数字有4种放法 根据分步乘法计数原理 三位数的个数为5 5 4 100 2 五名学生参加四项体育比赛 每人限报一项 可逐个学生落实 每个学生有4种报名方法 共有45种不同的报名方法 五名学生争夺四项比赛的冠军 可对4个冠军逐一落实 每个冠军有5种获得的可能性 共有54种获得冠军的可能性 答案 1 100 2 4554 规律方法1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且分步必须
10、满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 一是步骤互相独立 互不干扰 二是步与步确保连续 逐步完成 训练2 已知a 1 2 3 b 4 5 6 7 则方程 x a 2 y b 2 4可表示不同的圆的个数为 A 7B 9C 12D 16解析得到圆的方程分两步 第一步 确定a有3种选法 第二步 确定b有4种选法 由分步乘法计数原理知 共有3 4 12 个 答案C 考点三两个计数原理的综合应用 例3 1 2017 天津卷 用数字1 2 3 4 5 6 7 8 9组成没有重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数
11、字作答 2 如果一条直线与一个平面垂直 那么称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一个正方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是 A 48B 18C 24D 36 2 在正方体中 每一个表面有四条棱与之垂直 六个表面 共构成24个 正交线面对 而正方体的六个对角面中 每个对角面有两条面对角线与之垂直 共构成12个 正交线面对 所以共有36个 正交线面对 答案 1 1080 2 D 规律方法1 在综合应用两个原理解决问题时应注意 1 一般是先分类再分步 在分步时可能又用到分类加法计数原理 2 对于较复杂的两个原理综合应用的问题 可恰当地列出示意图或列出表格 使
12、问题形象化 直观化 2 解决涂色问题 可按颜色的种数分类 也可按不同的区域分步完成 训练3 1 2019 衡水调研 用0 1 9十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 A 243B 252C 261D 279 2 一题多解 2019 青岛质检 如图所示 用4种不同的颜色涂入图中的矩形A B C D中 要求相邻的矩形涂色不同 则不同的涂法有 A 72种B 48种C 24种D 12种 3 如图所示 在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有 个 用数字作答 解析 1 0 1 2 9共能组成9 10 10 900 个 三位数 其中无重复数字的三位数有9 9 8 648
13、 个 有重复数字的三位数有900 648 252 个 2 法一首先涂A有4种涂法 则涂B有3种涂法 C与A B相邻 则C有2种涂法 D只与C相邻 则D有3种涂法 所以共有4 3 2 3 72种涂法 法二按要求涂色至少需要3种颜色 故分两类 一是4种颜色都用 这时A有4种涂法 B有3种涂法 C有2种涂法 D有1种涂法 共有4 3 2 1 24 种 涂法 二是用3种颜色 这时A B C的涂法有4 3 2 24 种 D只要不与C同色即可 故D有2种涂法 所以不同的涂法共有24 24 2 72 种 3 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两
14、条公共边的三角形共有8个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 答案 1 B 2 A 3 40 思维升华 1 应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步 在处理具体的应用问题时 首先必须弄清楚 分类 与 分步 的具体标准是什么 选择合理的标准处理事情 可以避免计数的重复或遗漏 2 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 3 混合问题一般是先分类再分步 4 要恰当画出示意图或树状图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 易错防范 1 切实理解 完成一件事 的含义 以确定需要分类还是需要分步进行 2 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 3 确定题目中是否有特殊条件限制
