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1、 第1节节 平面向量的概念及线线性运算 考试要求 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的意义和两个向量相等的 含义 3 理解向量的几何表示和基本要素 4 掌握向量加法 减法的运算 并理 解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含 义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 知 识 梳 理 1 向量的有关概念 1 向量 既有 又有 的量叫做向量 向量的大小叫做向量的 2 零向量 的向量 其方向是任意的 3 单位向量 长度等于 的向量 4 平行向量 方向 或 的非零向量 平行向量又叫 规定 0与任一向量 5 相等向量 长度 且方向 的向量 6 相反向量 长度 且方向
2、 的向量 大小方向 长度 或模 长度为0 1个单位 相同相线向量 平行 相等相同 相等相反 2 向量的线性运算 向量运算定 义法则 或几何意义 运算律 加法求两个向量和的运算 1 交换律 a b 2 结合律 a b c b a a b c 减法 减去一个向量相当 于加上这个向量的 相反向量 a b a b 数乘 求实数 与向量a的 积的运算 1 a 2 当 0时 a的方向与a 的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a a a a b a 相同 相反 0 a a a a b 3 共线向量定理 向量a a 0 与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 使得 b a 微点提醒 基 础 自 测
3、1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 零向量与任意向量平行 2 若a b b c 则a c 4 当两个非零向量a b共线时 一定有b a 反之成立 解析 2 若b 0 则a与c不一定平行 3 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 则A B C D四点不一定在一条 直线上 答案 1 2 3 4 答案 A 答案 D 答案 A 答案 A 6 2019 菏泽调研 设a与b是两个不共线向量 且向量a b与 b 2a 共线 则 考点一 平面向量的概念 若a b b c 则a c a b的充要条件是 a b 且a b 其中正确命题的序号是 A B C D 2 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不
4、一定相同 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又b c b c的长度相等且方向 相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b不是 a b的充要条件 而是必要不充分条件 综上所述 正确命题的序号是 答案 1 C 2 A 训练1 1 如图 等腰梯形ABCD中 对角线AC与BD交于点P 点E F分别在两腰 AD BC上 EF过点P 且EF AB 则下列等式中成立的是 2 根据向量的有关概念可知 正确 错误 答案 1 D 2 考点二 平面向量的线性运算 多维探究 角度1 向量的线性运算 答案 A 角度2 利用向量线
5、性运算求参数 解析 1 E为线段AO的中点 答案 1 B 2 3 规律方法 1 解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量 并能熟练运用相反向 量将加减法相互转化 2 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 1 观察各向量的位置 2 寻找相 应的三角形或多边形 3 运用法则找关系 4 化简结果 解析 1 连接CD 由点C D是半圆弧的三等分点 考点三 共线向量定理及其应用 2 解 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 规律方法 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决
6、但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 答案 1 D 2 C 思维升华 1 向量线性运算的三要素 向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则 向量加法的三角形法则要素是 首尾相接 指向终点 向量减法的三角形法则要素是 起点重合 指向被减向 量 平行四边形法则要素是 起点重合 2 三个常用结论 易错防范 1 解决向量的概念问题要注意两点 一是不仅要考虑向量的大小 更重要的是要考 虑向量的方向 二是考虑零向量是否也满足条件 要特别注意零向量的特殊性 2 在利用向量减法时 易弄错两向量的顺序 从而求得所求向量的相反向量 导致 错误
