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1、第三章控制系统的数学模型 第1 2小节微分方程与传递函数 一 微分方程 数学模型是用来描述系统中各种信号 或变量 的传递和转换关系的 3 分析和设计任何一个控制系统 首要任务是建立系统的数学模型 输入 输出模型 着重描述的是系统输入量和输出量之间的数学关系 状态空间模型 着重描述的是系统输入量与内部状态之间以及内部状态和输出量之间的关系 建立数学模型的方法主要有机理法和实验法 系统辨识 建模方法 机理法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理 化学定律列写出变量间的数学表达式 并实验验证 对系统或元件输入一定形式的信号 阶跃信号 单位脉冲信号 正弦信号等 根据系统或元件的输出响应 经过数据处理而
2、辨识出系统的数学模型 实验法 系统辨识 机理建模步骤 1 建立物理模型 必要的简化和假设 2 列写原始方程 根据系统内在规律 牛顿运动学 能量守恒 物料守恒等 建立各物理量之间的数学关系 3 选定系统的输入 输出变量及状态变量消去中间变量 建立模型 RLC电路系统的数学模型 例2 1带阻尼的质量弹簧系统如图所示 当外力F t 作用于系统时 系统将产生运动 试写出外力F t 与质量块的位移x t 之间的动态方程 其中弹簧的弹性系数为k 阻尼器的阻尼系数为f 质量块的质量为m 机械系统的数学模型 分析质量块M受力 有 1 外力F 2 弹簧恢复力kx t 3 阻尼力 4 惯性力 F克服弹簧恢复力和阻
3、尼力 使M向下运动 产生加速度 固定端 固定端 与变形长度相关 与变形速度相关 式中 x为M的位移 m f为阻尼系 N s m k为弹性系数 N m 由于M受力平衡 所以 二 传递函数 线性系统的输入 输出关系 方程两端进行拉氏变换 在零初始条件下 12 线性定常系统在输入 输出零初始条件的条件下 输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 称为该系统的传递函数 1 传递函数的定义 2 传递函数与微分方程之间存在转换关系 例 已知直流电动机以电枢电压为输入量 以角速度为输出量的微分方程 其中 为已知的定常参数 求相应的传递函数 解 将微分方程两边各项取拉氏变换 电动机的传递函数为 3 传递函数的因式分
4、解形式 零极点形式 Kg 传递函数的增益 zi i 1 2 m 传递函数的零点pj j 1 2 n 传递函数的极点 n m 系统的闭环特征方程 即令分母多项式等于零 以电动机系统的闭环传递函数为例 认识传递函数中的一些术语 系统的最高阶次 是特征方程的最高阶次 系统的闭环极点 也称为特征根 是闭环特征方程的解 系统的闭环零点 是分子多项式等于零时的解 19 三 传递函数的性质 1 传递函数仅适用于线性定常系统 2 传递函数是系统的数学模型 描述输入变量和输出变量之间的动态变化关系 不同的物理系统可以具有相同的传递函数 3 传递函数表征系统本身的一种属性 表示输入与输出之间的一种函数关系 它与输
5、入信号的大小和性质无关 4 传递函数是关于复变量s的有理真分式 它的分子 分母的阶次是n m 5 传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉普拉斯变换 系统的单位脉冲响应为 传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲响应函数 系统的单位阶跃响应为 四 基本RLC网络的复阻抗 电阻 电容 电感与电压 电流之间满足广义的欧姆定律 RLC 时域 拉式变换 复阻抗 例 列写RC网络的传递函数 将复阻抗1 sC代替电容C 输入输出函数变为复函数 将复阻抗1 sC代替电容C 输入输出函数变为复函数 利用欧姆定理 1 sC1与R1并联 而后再与R2和1 sC2串联 求得输入端的总阻抗 将复阻抗1 sC代替电容C 输入输出函数变为复函数 利用欧姆定理 1 sC1与R1并联 而后再与R2和1 sC2串联 求得输入端的总阻抗R2和1 sC2对Ui s 进行分压 得到输出Uo s 化简 并写成输出 输入的形式 关于并联电路阻抗的计算 1 阻抗替换 2 1 sC与R并联 例 3 输入端总阻抗 4 输出端分压 5 传递函数 知识回顾KnowledgeReview
