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1、数学电子教案 专题30 几何综合问题专题 几何在初中数学中占有相当的比重 在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的解答题占有20 到30 的比重 主要是利用直线型和圆中的一些基本性质 借助于图形变换 平移变换 旋转变换 轴对称变换 相似变换 进行线段和角的相等的证明 距离的测量与计算 面积的确定 线路的确定 方案的设计等等 主要考查学生的观察能力 空间想象能力 动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力 知识的应用在现实的生产实践和生活中极其普遍 几何知识的考查也从单纯的几何证明 计算向几何应用方面转变 且题型多种多样 解题一般先从实际的问题中抽象出几何图形的模型 将实际问题转化为数学问题
2、然后把已知量和所求的量转化在几何图形中 再根据几何图形的性质 用代数的方法进行求解 最后检验做答 例1 2013山东烟台 已知 点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点 不与A B重合 分别过点A B向直线CP作垂线 垂足分别为E F Q为斜边AB的中点 1 如图1 当点P与点Q重合时 AE与BF的位置关系是 QE与QF的数量关系是 2 如图2 当点P在线段AB上不与点Q重合时 试判断QE与QF的数量关系 并给予证明 3 如图3 当点P在线段BA 或AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 解题思路 1 易证明AE BF 利用全等易证明QE QF 2 结合图形可猜想Q
3、E QF 如图延长FQ交AE于点D 通过全等三角形 及直角三角形斜边中线定理即可证明猜想成立 2 QE QF 证明 延长FQ交AE于点D AE BF 1 2 3 4 AQ BQ AQD BQF QD QF AE CP QE为斜边FD中线 QE QF 3 2 中结论仍然成立 理由 延长EQ FB交于点D AE BF 1 D 2 3 AQ BQ AQE BQD QE QD BF CP FQ为斜边DE中线 QE QF 例2 2013广东梅州 用如图 所示的两个直角三角形 部分边长及角的度数在图中已标出 完成以下两个探究问题 探究一 将以上两个三角形如图 拼接 BC和ED重合 在BC边上有一动点P 1
4、 当点P运动到 CFB的角平分线上时 连接AP 求线段AP的长 2 当点P在运动的过程中出现PA FC时 求 PAB的度数 探究二 如图 将 DEF的顶点D放在 ABC的BC边上的中点处 并以点D为旋转中心旋转 DEF 使 DEF的两直角边与 ABC的两直角边分别交于M N两点 连接MN 在旋转 DEF的过程中 AMN的周长是否存在有最小值 若存在 求出它的最小值 若不存在 请说明理由 解题思路 探究一 1 如图甲 过点A作AG BC 垂足为G 当点P运动到 CFB的角平分线上时 要求AP 在Rt AGP中 只需先求出AG与GP 2 如图乙 以A点为圆心 CF长为半径作圆弧 与BC有两个交点 知 PAB可分两种情况 探究二 连接AD 易证 ADM CDN 可证明CN AM 所以AM AN的和为定值 我们只需求MN的最小值即可 例3 2013浙江湖州 如图 已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点 AC x轴于点M 交直线y x于点N 若点P是线段ON上的一个动点 APB 30 BA PA 则点P在线段ON上运动时 A点不变 B点随之运动 求当点P从点O运动到点N时 点B运动的路径长是 思维模式 初中数学中点的运动轨迹问题 通常有两种可能 一是轨迹是线段 此时只要求出两端点的坐标就可求得路径长 二是轨迹是圆弧 此时先去定圆弧所在圆的圆心 半径 再确定圆心角就可求得路径长
