《经典资料：初中数学《最短路径问题》典型题型复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典资料：初中数学《最短路径问题》典型题型复习（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 初中数学 最短路径问题 典型题型 知识点 两点之间线段最短 垂线段最短 点关于线对称 线段的 平移 饮马问题 造桥选址问题 考的较多的还是 饮马问题 出题背 景变式有角 三角形 菱形 矩形 正方形 梯形 圆 坐标轴 抛物线等 解题总思路 找点关于线的对称点实现 折 转 直 近两年出现 三折线 转 直 等变式问题考查 一 两点在一条直线异侧 例 已知 如图 A B在直线 L 的两侧 在 L 上求一点 P 使得 PA PB 最小 解 连接 AB 线段 AB与直线 L 的交点 P 就是所求 根据 两 点之间线段最短 二 两点在一条直线同侧 例 图所示 要在街道旁修建一个奶站 向居民区A B提供牛
2、奶 奶站应 建在什么地方 才能使从A B到它的距离之和最短 解 只有A C B在一直线上时 才能使AC BC最小 作点A关 于直线 街道 的对称点A 然后连接A B 交 街道 于点C 则点C就是所求的点 三 一点在两相交直线内部 例 已知 如图 A是锐角 MON 内部任意一点 在 MON 的两边 OM ON 上各取一点 B C 组成三角形 使三角形周长最小 解 分别作点A 关于 OM ON 的对称点A A 连接 A A 分别交OM ON 于 点 B 点 C 则点 B 点 C 即为所求 分析 当 AB BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时 三角形的周长最小 例 如图 A B 两
3、地在一条河的两岸 现要在河上建一座桥MN 桥造在何处才能 使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短 假设河的两岸是平行的直线 桥要与河垂 直 解 1 将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E 2 连接 AE 交河对岸与点M 则点 M 为建桥的位置 MN 为所建的桥 A B M N E 证明 由平移的性质 得BN EM 且 BN EM MN CD BD CE BD CE 所以 A B 两地的距 AM MN BN AM MN EM AE MN 若桥的位置建在CD 处 连接AC CD DB CE 则 AB 两地的距离为 AC CD DB AC CD CE AC CE MN 在 ACE 中 AC
4、CE AE AC CE MN AE MN 即 AC CD DB AM MN BN 所以桥的位置建在CD 处 AB 两地的路程最短 例 如图 A B是两个蓄水池 都在河流a 的同侧 为了方便灌溉作 物 要在河边建一个抽水站 将河水送到A B两地 问该站建在河 边什么地方 可使所修的渠道最短 试在图中确定该点 作法 作点B 关于直线a 的对称点点C 连接 AC 交直线 a于点 D 则点 D 为 建抽水站的位置 证明 在直线a 上另外任取一点E 连接 AE CE BE BD 点 B C 关于直线a 对称 点 D E 在直线a上 DB DC EB EC AD DB AD DC AC AE EB AE
5、EC 在 ACE 中 AE EC AC 即 AE EC AD DB 所以抽水站应建在河边的点D 处 例 某班举行晚会 桌子摆成两直条 如图中的 AO BO AO桌面上摆满了桔子 OB桌面上 摆满了糖果 坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果 然后回到座位 请 你帮助他设计一条行走路线 使其所走的总路程最短 作法 1 作点 C 关于直线OA 的对称点点D 2 作点 C 关于直线OB 的对称点点E 3 连接 DE 分别交直线OA OB 于点 M N 则 CM MN CN最短 例 如图 C为马厩 D为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再 到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天
6、的最短路线 作法 1 作点 C 关于直线OA 的对称点点F 2 作点 D 关于直线OB 的对称点点E 3 连接 EF 分别交直线OA OB 于点 G H 则 CG GH DH 最短 四 求圆上点 使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优 设计方案 例 一点到圆上的点的最大距离为9 最短距离为1 则圆的半径为多少 5 或 4 C D A B E a A O B E N C M A O B D C H F G E D 3 四 点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形 圆柱体展开的底面周长是长方形的长 圆柱的高是长方形的 宽 可求出最
7、短路程 例 如图所示 是一个圆柱体 ABCD 是它的一个横截面 AB BC 3 一只 蚂蚁 要从 A点爬行到 C点 那么 最近的路程长为 A 7 B C D 5 分析 要求蚂蚁爬行的最短距离 需将圆柱的侧面展开 进而根据 两点之间线段最短 得出结果 解 将圆柱体展开 连接A C 4 BC 3 根据两点之间线段最短 AC 5 故选 D 五 在长方体 正方体 中 求最短路程 1 将右侧面展开与下底面在同一平面内 求得其路程 2 将前表面展开与上表面在同一平面内 求得其路程 3 将上表面展开与左侧面在同一平面内 求得其路程了 然后进行比较大小 即可得到最短路程 例 有一长 宽 高分别是5cm 4cm
8、 3cm的长方体木块 一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点 A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点 B处 则 需要爬行的最短路径长为 A 5cm B cm C 4cm D 3cm 分析 把此长方体的一面展开 在平面内 两点之间线段最短 利用勾股定理求点A 和 B 点间的线段长 即可得到蚂蚁爬行的最短距离 在直角三角形中 一条直角边长等于长方体的高 另一条直角边长等于长 方体的长宽之和 利用勾股定理可求得 解 因为平面展开图不唯一 故分情况分别计算 进行大 小比较 再从各个路线中确定最短的路线 1 展开前面 右面 由勾股定理得AB 2 5 4 2 32 90 2 展开前面 上面 由勾股定理得AB
9、 2 3 4 2 52 74 3 展开左面 上面 由勾股定理得AB 2 3 5 2 42 80 所以最短路径长为cm 例 如图是一个长4m 宽 3m 高 2m的有盖仓库 在其内壁的A处 长的 四等分 有一只壁虎 B处 宽的三等分 有一只蚊子 则壁虎爬到蚊子处 最短距离为 A 4 8 B C 5 D 分析 先将图形展开 再根据两点之间线段最短可知 解 有两种展开方法 将长方体展开成如图所示 连接A B 4 根据两点之间线段最短 AB 将长方体展开成如图所示 连接A B 则 AB 5 所以最短距离5 例 有一棵 9米高的大树 树下有一个1 米高的小孩 如果大树在距地面4 米处折断 未完 全折断 则
10、小孩至少离开大树米之外才是安全的 分析 根据题意构建直角三角形ABC 利用勾股定理解答 解 如图 BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m 则 BC 4 1 3m AB 9 4 5m 在 Rt ABC 中 AC 4 例 如图 在一个长为2 米 宽为 1 米的矩形草地上 如图堆放着一根长方体 的木块 它的棱长和场地宽AD平行且 AD 木块的正视图是边长为0 2 米的 正方形 一只蚂蚁从点A处 到达 C处需要走的最短路程是米 精确到 0 01 米 分析 解答此题要将木块展开 然后根据两点之间线段最短解答 解 由题意可知 将木块展开 相当于是AB 2个正方形的宽 长为 2 0 2 2 2 4 米
11、宽为 1 米 于是最短路径为 2 60 米 例 如图 AB为 O直径 AB 2 OC为半径 OC AB D为 AC 三等分点 点 P为 OC上的动点 求 AP PD 的最小值 分折 作 D关于 OC 的对称点 D 于是有 PA PD AD 当且仅当 P运动到 Po处 等号成立 易求AD 3 六 在圆锥中 可将其侧面展开求出最短路程 将圆锥侧面展开 根据同一平面内的问题可求出最优设计方案 例 如图 一直圆锥的母线长为QA 8 底面圆的半径r 2 若一只 小蚂蚁从 A点出发 绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点 则蚂蚁爬行 的最短路线长是 结果保留根式 小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所
12、对的弦长 根据题意可得出 2 r n OA 180 则 则 2 2 解得 n 90 由勾股定理求得它的弦长AA n 8 180 一 题中出现一个动点 当题中只出现一个动点时 可作定点关于动点所在直线的对称点 利用两点之 间线段最短 或三角形两边之和小于第三边求出最值 例 如图 在正方形ABCD 中 点 E为 AB上一定点 且 BE 10 CE 14 P为 BD上一动点 求 PE PC 最小值 分析 作 E关于 BD对称点 E E 在 AB上 有 PE PC PE PC E C易求 E C 26 二 题中出现两个动点 当题中出现两个定点和两个动点时 应作两次定点关于动点所在直线的对称 点 利用两
13、点之间线段最短求出最值 例 如 图 在 直 角 坐 标 系 中 有 四 个 点 A 8 3 B 4 5 C 0 n D m 0 当四边形 ABCD 周长 最短时 求 m n 分折 因 AB长为定值 四边形周长 最短时有 BC CD DA最短 作 B关于 y 轴对称点 B A关于 x 轴对称点 A DA DC BC DA DC B C B A 当 D C运动到 AB和 x 轴 y 轴的交点时等号 成立 易求直线 A B 解折式 y 2 3 x 7 3 C0 0 7 3 D0 7 2 0 此时 m n 2 3 三 题中出现三个动点时 在求解时应注意两点 1 作定点关于动点所在直线的对称点 2 同时
14、要考虑点点 点线 线线之间的最短问题 例 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 BAD 60 E F P分别为 AB BC AC上动点 求 PE PF 最小值 6 分折 作 E关于 AC所直线的对称点E 于是有 PE PF PF PE E F 又因为 E 在 AB 上运动 故当 EF 和 AD BC垂直时 E0F 最短 易求 E0F 3 例 如图 AOB 45 角内有一动点 P PO 10 在 AO BO上有两动点 Q R 求 PQR 周长的最小值 分折 作 P关于 OA OB对称点 P1 P2 于是有 PQ QR PR QP1 QR RP2 P1P2 由对称性易知 P1OP2 为等腰 RT
15、OP OP1 OP2 10 P1P2 10 2 总之 在这一类动点最值问题中 关键在于 我们善于作定 点关于动点所在直线的对称点 或动点关于动点所在直线的对称点 这对于我 们解决此类问题有事半功倍的作用 1 运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质 将所求线段之和转化为一条线段 的长 是解决距离之和最小问题的基本思路 不论题目如何变化 运用时要抓 住直线同旁有两点 这两点到直线上某点的距离和最小这个核心 所有作法都 相同 注意 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质 利 用三角形的三边关系 通过比较来说明最值问题是常用的一种方法 解决这类 最值问题时 要认真
16、审题 不要只注意图形而忽略题意要求 审题不清导致答 非所问 2 利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上 如果两点在一条直线的 同侧时 过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大 如果两点在一条 直线的异侧时 过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小 都可以 用三角形三边关系来推理说明 通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点 的对称点来解决 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时 可以通过平移河岸的方法使 河的宽度变为零 转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的 问题 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变换把不在一条直线上的两条线 段转化到一条直线上 从而作出最短路径的方法来解决问题
