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1、初三 数 学 知 识 点 整理 一 二次函数 1 二次函数的定义 形如y ax 2 bx c a 0 形式叫二次函数 2 解析式的形式 一般式 y ax 2 bx c a 0 顶点式 y a x h 2 k 3 图像性质 函数顶点坐标对称轴极值 y ax 2 0 0 Y 轴 直线 x 0 Y 0 y ax 2 c 0 c Y 轴 直线 x 0 Y 0 y a x h 2 h 0 直线 x h Y h y a x h 2 k h k 直线 x h Y h y ax 2 bx c a b 2 a bac 4 4 2 直线 x a b 2 Y a bac 4 4 2 顶点的横坐标即图像的对称轴 纵坐
2、标即函数的极值 4 a b c 的作用 a决定 图像的开口方向 a 0 开口向上 a 0 开口向下 a 决定 图像的开口大小 a 越大 开口越小 a b 共同决定 对称轴 当a b 同号时 对称轴在y 轴的左侧 当 a b 异号时 对称轴在y 轴的右侧 c 决定 图像与 Y 轴交点的纵坐标 5 变换求解析式时 考虑两个方面 a的值 顶点的变化 6 二次函数与一元二次方程 对于二次函数 y ax 2 bx c a 0 当 Y 0 时 得一元二次方程ax 2 bx c 0 当 b 2 4ac 0 时 方程有两个不相等的实数根 抛物线与x 轴有两个交点 交 点横坐标为方程的实根 当 b 2 4ac
3、0时 方程有两个相等的实数根 抛物线与x 轴有且只有一个交点 交点横坐标为方程的实根 当 b 2 4ac 0 时 方程没有实数根 抛物线与x 轴没有交点 7 对于二次函数 y ax 2 bx c a 0 如何求与 x 轴的交点坐标 令 y 0 代入函数关系式 解得方程的根即为交点的 横坐标 如何求与 y 轴的交点坐标 令 x 0 代入函数关系式 交点坐标为 0 c 如何求两个函数图像的交点坐标 将两个函数解析式组成方程组求解 8 对于二次函数 y ax 2 bx c a 0 当图像顶点在 x 轴上时 b 2 4ac 0 对应解析式为 y a x h 2 当图像顶点在 y 轴上时 b 0 对应解
4、析式为 y ax 2 c 当图像顶点在原点时 a 0 c 0对应解析式为y ax 2 当图像过原点时 c 0 对应解析式为y ax 2 bx 9 方程 ax 2 bx c K 的解为函数 y ax 2 bx c 与直线 Y K 的交点的横坐标 抛物线的对称轴方程为 2 21 xx 其中 x1 x 2为图像上两对称点的横坐标 抛物线上对称点的坐标特征是 纵坐标相同 对于函数 y ax 2 bx c 当 x 1 时 y a b c 当 x 1 时 y a b c 当 x 2 时 y 4a 2b c 当 x 2 时 y 4a 2b c A的邻边 b A的对边 a 斜边 c C B A 二 一函数 反
5、比列函数 函数表达式象 限增减性 一次函数Y kx b k 0 K 0 一 三 K 0 二 四 K 0 K 0 反比例函数 Y x k k 0 x 0 K 0 一 三 K 0 二 四 K 0 K 0 三 三角函数 A 的余弦 记作 cosA 即 cosA A的 邻 边 斜 边 c b A 的正切 记作 tanA 即 tanA A A 的 对 边 的 邻 边 a b A 的正弦 记作 sinA 即 sinA 斜边 的对边 a c 30 45 60 siaA cosA tanA 四 圆 1 几种位置关系 点与圆的位置关系 点在圆外点在圆上点在圆内 直线与圆的位置关系 相离相切相交 圆与圆的位置关系
6、 外离内含 外切 内切相交 D C B A O 2 判断位置关系的方法 点与圆 d 与 r 的大小 d 圆心到点的距离 直线与圆 d 与 r 的大小 d 圆心到直线的距离 圆与圆 3 几个定理 垂径定理 AB 过圆心 AB CD CE DE BC BD AC AD 等对等定理 在同圆或等圆中 两个圆心角 两条弦 两条弧 有一组量等 其余各组量都等 圆周角定理及推论 在 O 中 A B 都对 DC A B 在 O 中 A O 都对 DC A 2 1 O 在 O 中 A 90 BC为 O 直径 BC为 O 直径 A 90 切线的性质定理 圆的切线垂直与过切点的直径 半径 AB切 O 于点 C OC
7、 AB 遇切线常用的辅助线是连接圆心和切点 得垂直 得半径 D C A B o O C B A C A BO B A C E D O B AC O 圆心距d 的范围 相交 内切 内含 外切 外离 R r R r 切线的判定方法 当直线与圆无公共点时 过圆心向直线作垂线d 证 d 等于 r 当直线与圆有公共点时 连接圆心和公共点 证连 得的半径和直线垂直 切线长定理 PA PB O 与点 A B PA PB PO 平分 APB 4 三角形内心 三角形内切圆圆心 是三个内角平分线的交点 到三角形三边 的距离相等 三角形外心 三角形外接圆圆心 是三边垂直平分线的交点 到三角形三顶 点的距离相等 5
8、公式 直角三角形的外接圆半径R 2 c 内切圆半径 r 2 cba O 是外心 A 为锐角时 则 BOC 2 1 A A 为钝角时 则 BOC 360 2 A O 是内心 BOC 90 2 1 A 弧长 L 180 rn 扇形面积 S 360 2 rn 或 S 2 1 lR S圆锥侧面 rl 母 S圆柱侧面 2 rl 母 正多边形中的几个概念 中心 正多边形的外接圆圆心 也是内切圆圆心 半径 正多边形的外接圆半径 即中心到顶点的距离 边心距 中心到一边的垂线段 是内切圆半径 中心角 正多边形一边所对的圆心角 正 n 边形内角和 180 n 2 中心角 n 0 360 n R B O A D j
9、 r L r h O B A P jD r R BA O 五 一元二次方程 1 一元二次方程的一般形式为 ax 2 bx c 0 a 0 二次项 ax 2 一次项 bx 常数项 c 二次项系数 a 一次项系数 b 2 解法 2x 2 5x 2 0 配方法 2x 2 5x 2 0 公式法 六 三角形四边形 1 中点四边形的形状和原四边形的对角线有关 一般四边形的中点四边形是平行四边形 原四边形的对角线相等 中点四边形为菱形 原四边形的对角线垂直 中点四边形为矩形 2 中点四边形的周长 原四边形对角线和 中点四边形的面积 原四边形面积的一半 3 梯形的中位线性质 平行上底下底 等于上下底和的一半
10、4 边长为 a的等边三角形面积S 2 4 3 a 梯形的面积 S 2 1 下上 高 2 或 中位线 高 菱形面积 S 底 高或 S 对角线乘积的一半 对角线垂直的四边形面积S 对角线乘积的一半 6 基本图形 七 四边形的判定 1 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 2 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三角是直角的四边形 3 菱形的判定 一组邻边相等的平行四边形 对角线垂直的平行四边形 四边相等的四边形 7 正方形的判定 一组邻边相等 有一个角为直角的平行四边形 有一个角是直角的
11、菱形 一组邻边相等的矩形 8 等腰梯形的判定 两腰相等的梯形 同一底上的两角相等的梯形 八 方差 等 方差 S 2 方差 极差 标准差越小 数据的波动越小 数据越稳定 极差 最大数减最小数 标准差 方差的算术平方根 众数 一组数据中出现次数最多的那个数 中位数 将数据从小到大排序后 中间的那个数或中间两数的平均数 九 二次根式 1 代数式有意义的x 的取值范围 x 1 x 0 x x 0 x 1 x 0 2 2 a a a a a 0 3 最简二次根式 被开方数中不含有开得尽方的因数或因式 分母中不含根号 如 根号中不含分母 如 十 分式 形如 B A 分式有意义的条件 B 0 分式无意义的条件 B 0 分式值为 0 的条件 A 0 B 0
