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1、学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律.3.会用向量法解决立体几何问题1空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行laa0面面平行vkv，kR线线垂直lmabab0线面垂直laak，kR面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为，cos线面夹角l，的夹角为，sin面面夹角，的夹角为，cos2.用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论关键点如下：(1)选择恰当
2、的坐标系坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程(2)点的坐标、向量的坐标的确定将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题(3)几何问题与向量问题的转化平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键1向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等()2设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为.()3两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()4若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()题型一空间
3、向量及其运算例1如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_答案解析容易推出0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.反思感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义跟踪训练1如图，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a
4、，b，c表示.解连接AN，则，由已知ABCD是平行四边形，故ab，又M分成的比为，故(ab)由已知，N分成的比为2，故(c2b)于是(ab)(c2b)(abc)题型二利用空间向量解决位置关系问题例2在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD；(2)平面PBC平面PCD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E.(1)，(a，a,0)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，
5、得n，因为n(a,0，b)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的法向量为(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，设平面PBC的法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m，因为m(0，a,0)0，所以m，即平面PBC平面PCD.反思感悟(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理证明这两个平面的
6、法向量是共线向量(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.(1,0,0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，由得令y11，得m(0
7、,1，2)又由得令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，平面AED平面A1FD1.题型三利用空间向量求角例3如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值解(1)由ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA，故CD平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)如图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴
8、，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，C1(0，h)，从而(4,0，h)，(2，h)，由，得8h20，h2.故(2,0,2)，(0,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则即取z11，得m(，0,1)设平面C1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，则即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为.反思感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解
9、(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cosn，a，再利用公式sin|cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点(1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值方法一(1)证明如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中
10、点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.(2)解如图，在平面BEC内，过B点作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为AB平面BEC，所以(0,0,2)为平面BEC的法向量设n(x，y，z)为平面
11、AEF的法向量又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2，1,2)从而|cosn，|，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.方法二(1)证明如图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)同方法一1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则()等于()A.B.C.D
12、.答案A解析在BCD中，因为点G是CD的中点，所以()，从而().故选A.2在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；对ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；|(ab)c|a|b|c|.A2B3C4D1答案C解析由|a|b|ab|，得a与b的夹角为，故是充分不必要条件，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由向量的数量积的性质知，不正确3(2018安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的平面记为
13、，不经过点A的平面的一个法向量为n(2,2，2)，则与的关系为_考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面平行答案平行解析由n0，n0，故n也是平面的一个法向量，又点A不在平面内，故.4已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_答案xyz0解析e(x，y，z)(1,1,1)xyz0.5如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，E，F分别在AC和AB上，且EFCB.将它沿EF折起，且平面AEF平面EFBC，且四棱锥AEFBC的体积为2.(1)求EF的长；(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值解(1)因为EFCB，ACB90，所以CEEF，AEEF.又平面AEF平面EFBC，平面AEF平面EFBCEF，AEEF，AE平面AEF，所以AE平面EFBC.设EFx，由于EFBC，A
