《2020年高考数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020年高考数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲含答案(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、选修45 不等式选讲第一节 绝对值不等式一、基础知识1绝对值三角不等式定理1:如果a,b是实数,则|ab|a|b|,当且仅当ab0时,等号成立定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立|a|b|ab|a|b|,当且仅当|a|b|且ab0时,左边等号成立,当且仅当ab0时,右边等号成立.2绝对值不等式的解法(1)|x|a型不等式的解法不等式a0a0a0|x|ax|xa或x0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法及体现数学思想利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了
2、数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 典例(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)1时,可得x1或x3;当f(x)1时,可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3,f(x)1的解集为. 题组训练1解不等式|x1|x1|2.解:当x1时,原不等式可化为x11x2,解得x1,又因为x1时,原不等式可化为x1x12,解得x1,又因为x1,故无解
3、;综上,不等式|x1|x1|2的解集为1,12(2019沈阳质检)已知函数f(x)|xa|3x,其中aR.(1)当a1时,求不等式f(x)3x|2x1|的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值解:(1)当a1时,f(x)|x1|3x.法一:由f(x)3x|2x1|,得|x1|2x1|0,当x1时,x1(2x1)0,得x2,无解;当x1时,1x(2x1)0,得x0;当x时,1x(2x1)0,得2x0时,不等式的解集为.由1,得a2.当a0时,不等式的解集为x|x0,不合题意当a0时,不等式的解集为.由1,得a4.综上,a2或a4. 典例(2019湖北五校联考)已知函数f(x)|
4、2x1|,xR.(1)解不等式f(x)|x|1;(2)若对x,yR,有|xy1|,|2y1|,求证:f(x)1.解(1)f(x)|x|1,|2x1|x|1,即或或得x2或0x或无解故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明:f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|21.故不等式f(x)1得证 解题技法绝对值不等式性质的应用利用不等式|ab|a|b|(a,bR)和|ab|ac|cb|(a,bR),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式题组训练1求函数f(x)|x2 019|x2 018|的最大值解
5、:因为f(x)|x2 019|x2 018|x2 019x2 018|4 037,所以函数f(x)|x2 019|x2 018|的最大值为4 037.2若x1,1,|y|,|z|,求证:|x2y3z|.证明:因为x1,1,|y|,|z|,所以|x2y3z|x|2|y|3|z|123,所以|x2y3z|成立 典例(2018合肥质检)已知函数f(x)|2x1|.(1)解关于x的不等式f(x)f(x1)1;(2)若关于x的不等式f(x)mf(x1)的解集不是空集,求m的取值范围解(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1,则或或解得x或x,即x,所以原不等式的解集为.(2)由条件知,不等式|2x
6、1|2x1|(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2,当且仅当(12x)(2x1)0,即x时等号成立,故m2.所以m的取值范围是(2,) 解题技法两招解不等式问题中的含参问题(1)转化把存在性问题转化为求最值问题;不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题;不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问题,即f(x)a恒成立af(x)max,f(x)a恒成立af(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:利用绝对值的几何意义;利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|;利用零点分区间法 题组训练
7、1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)当x1时,由2x40,解得2x2时,由2x60,解得2x3,故f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|,且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(,62,)2(2018广东珠海二中期中)已知函数f(x)|xm|2x1|(mR),若关于x的不等式f(x)|2x1|的解集为A,且A,求实数m的取值范围解:A,当x时,不等式f(x)|2x1|恒
8、成立,即|xm|2x1|2x1|在x上恒成立,|xm|2x12x1,即|xm|2在x上恒成立,2xm2,x2mx2在x上恒成立,(x2)maxm(x2)min,m0,故实数m的取值范围是.1求不等式|2x1|2x1|6的解集解:原不等式可化为或或解得x,即原不等式的解集为.2已知函数f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为a.(1)求实数a的值;(2)解不等式f(x)5.解:(1)f(x)|x4|xa|a4|a,从而解得a2.(2)由(1)知,f(x)|x4|x2|故当x2时,由2x65,得x2;当24时,由2x65,得41的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围解:
9、(1)当a1时,f(x)|x1|x1|,即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|0,则|ax1|1的解集为,所以1,故0x;(2)若关于x的不等式f(x)a22a的解集为R,求实数a的取值范围解:(1)原不等式等价于f(x)x0,不等式f(x)x0可化为|x2|x|x1|,当x(x1),解得x3,即3xx1,解得x1,即1x2时,x2xx1,解得x3,即x3,综上所述,不等式f(x)x0的解集为x|3x3(2)由不等式f(x)a22a可得|x2|x1|a22a,|x2|x1|x2x1|3,当且仅当x(,1时等号成立,a2
10、2a3,即a22a30,解得a1或a3.实数a的取值范围为(,13,)6已知函数f(x)|xa|x1|.(1)若a2,求不等式f(x)x2的解集;(2)如果关于x的不等式f(x)2的解集不是空集,求实数a的取值范围解:(1)当a2时,f(x)不等式f(x)x2等价于或或,解得x1或x3,故原不等式的解集为x|x1或x3(2)f(x)|xa|x1|(xa)(x1)|a1|,当(xa)(x1)0时取等号若关于x的不等式f(x)2的解集不是空集,只需|a1|2,解得3a1,即实数a的取值范围是(3,1)7已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围解:(1)当a2时,f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26,得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3