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1、http:/- 1 -二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：一、正确理解二次根式的定义同学们已经接触到的象 2、 0、 a（a0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子 a（a0）叫做二次根式.由此，对于 a（a0）的讨论应注意下面的问题：（1）式子 只有在条件 a0 时才叫二次根式.而式子 3就不是二次根式，但式子2(3)却又是二次根式.（2） a（a0）实际上就是非负数 a 的算术平方根.（3） 9是二次根式，虽然 93，但 3 不是二次根式.因此二
2、次根式指的是某种式子的“外部形态 ”.如，当 a 为实数时， 、 2、 1、 2)(a都是二次根式，而 10a、 2都不一定是二次根式.这是因为 a 是实数时，并不能保证a+10、a 21 是非负数，即 a+10、a 21 可以是负数，如当 a10 时，a+100；又如当0a1 时，a 210，因此， 0、 2不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围由于式子 （a0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数 a的算术平方根的表达式.所以式子 中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子 是一个非负数.如，当 x3 时，式子 3x在实数范围内有意义.这是因为由二次
3、根式的定义可知被开方式 x30，即 x3，就是说当 x3 时，式子 3x在实数范围内有意义 .这类问题实质上是当 x 是什么数时，x 3 是非负数，式子 有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：http:/- 2 -a20， 0， a0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.例 1已知 y 3x+ +6，则 yx .简析根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得 3x0 且 x30，即 x3 且x3，所以 x 只能等于 3，所以 y6.故 632.例 2已知 +y2+4y+4+ 1z0，
4、求 xyz的值 .简析本题可变形为 3x+(y+2)2+ 0，因为是三个非负数的和为 0，所以x30，y+2 0，z 10，即 x3，y 2，z1，故 xyz 3(2)13.下面两道题目供同学们自己练习：1、已知实数 a 满足 27a+ 08a，求 a2007 2 的值.2、设等式 ()x+ ()y x y在实数范围内成立，其中a、x、y 是两两不同的实数，求 223的值.3、若实数 x、y 、a 满足 8xy+ xy 3a+ 23xya，试问长度分别为 x、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1，由 a20080，得 a2008
5、.故已知式可化为 a2007+ 208a，所以2082007，两边平方并整理，得 a2007 22008.2，由 a(xa)0 及 xa0 得 a0；由 a(ya)0 及 ay 0 得 a0，故 a0，从而已知式化为 y，xy0 ，故原式 223 31.3，由 x+y80 ，8x y0，得 x+y8，x+y8.所以 8x+y8，x+y8.这时，已知等http:/- 3 -式即为 3xya+ 23xya0.因为 xya0， 23xya0，所以 0， 0.从而 3xya0，x2y+a+30.这两个等式相加，得 4x3y 3.联立 x+y8 和 4x3y3，得 8,43.解得 ,5.xy这时a3xy
6、4.因为 x、y、a 中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为 x、y、a 的三条线段能组成一个三角形.因为 x2+a2y 2，所以长度分别为 x、y、a 的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为 3、4.所以该三角形的面积值3426.二次根式的乘除法学习要点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义由于 3 ， 4，所以，一3622816般地， (a0，b0). 观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个ab二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二
7、次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意 a0、b0 的条件，因为只有a、b 都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求 a、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数 a、b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式 (a0，b0)可以推广到三个二次根式、ab四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例 1计算：（1） ；（2） ；16x6yhttp:/- 4 -（3） ；（ 4
8、） .2xy32xy318分析利用二次根式的乘法法则，对于第（3）小题，应视 x+2y 为一个整体.解（1） 6 ；1612（2） 3 ；xy3xxy（3） ( x+2y) ；242（4） 6x 2y2.3xy3183318xy4说明在进行二次根式乘法的过程中，应注意不能随便丢掉负号，其结果一定要化简.例 2计算：（1） ；（2）5 .0.43.6423分析第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题 的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.解（1） 0.431.2.0.43.60.4.049（2）5 5 .2253125310说明对于二次根式的被开方数或式中，
9、若满足两个相同因数或因式即移到根号外面来，从而达到化简的目的.二、掌握公式 (a0，b0)的反向运用ab对于公式 (a0，b0) ，我们可以反过来，即得到 ab(a0，b0).利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的 .例 3化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .75168202538分析利用公式 ，我们可以直接化简，对于 2000 可以通过分解因ab数，对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.解（1） 35；2752（2） 49 36；681http:/- 5 -（3） 20 ；202152105（4） 9545.58388215说明通过求解可以看出，
10、如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数) 能开得尽方，可以逆向运用二次根式乘法的法则，将这些因式(或因数) 开出来，从而将二次根式化简.三、熟练掌握二次根式除法的意义因为 422，而 2，所以 .164164164164一般地， (a0，b0). 观察这一式子的左边和右边，从运算顺序看，ab等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数 a 除以正数 b 求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中 a0，b0，这是因为当 b0 时，分母为 0，没有意义.和二次根式乘
11、法的法则一样，二次根式除法的法则也可以反过来运用，即 b(a0，b 0) ，同样可以利用这一公式化简二次根式.例 4计算：（1） ；（2） .7616分析直接运用公式 化简.aba解（1） 2 ；7267613（2） 3.13说明注意本例中第（2）小题的书写格式，以便降低求解的难度. http:/- 6 -例 5 化简：（1） ；（2） ；（3） .1549425xy0.9126分析利用公式 直接化简.ab解（1） ；54964987（2） ；2xy423xy（3） .0.9160.9160.12说明如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数.，在进行第（3）小题的运算时，也可以先对被开
12、方数的分子与分母同时扩大 100 倍，从而化小数为整数.通过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有两种基本方法：把除法先写成分式的形式； 直接套用公式 (a0，b0).四、正确理解最简二次根式的意义有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.最简二次根式必须满足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.例 6计算：（1） （ ）；（2） .756150分析第（1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法.解（1） （ ） 75 ；7562352661http:/- 7 -（2） .5015105125
13、说明通过本题的运算，我们能从中体会到如何化去分母中含有根号的因数或因式.二次根式的混合运算要点精析一、要点精析1二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，它的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号） 在进行二次根式的混合运算时要注意三点：在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式” ，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律 )、运算法则及所有的乘法公式 (平方差公式、完全平方公式等) ，在二次根式的运算中仍然适用 运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二
14、次根式，要化为最简二次根式二次根式的混合运算，一般先将二次根式化为最简二次根式，再按运算计算。2在二次根式的混合运算中，常遇到两个二次根式相除，分母中含有根式，此时需要把分子、分母同乘以分母的有理化因式，去掉分母中的根号，使分母中的无理数变成有理数，这种运算过程，叫分母有理化分母有理化的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的因式，分式的值不变分母有理化应用了二次根式的加减和乘除四种运算，是二次根式混合运算过程中的重要环节3分母有理化的实质是两个含有根式的代数式相乘，使其积不含根式，这样的两个根式叫互为有理化因式，如 与 是互为有理化因式； 和 是互为有理化因aab式； 和 是互为有理化因式ab4利用分母有理化，可以进行二次根式的除法运算分母有理化的方法是多种多样的，应根据题目特点采用相应的方法因此，分母的有理化因式是不唯一的，但以最简为宜，例如：当分母是形如 的式子，分母有理化时，可以乘 (b0)就可以达到化去分母axx中根号的目的，但以 最简，故只要分子、
