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1、 1 1 3 1 函数的单调性与导数 目标导航 1 结合实例 直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 3 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 知识梳理 1 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 f x 0 是 f x 在 a b 内单调递增 的充分不必要条件 f x 0 重难聚焦 2 求可导函数单调区间的一般步骤是什么 剖析 第一步 确定函数f x 的定义域 第二步 求f x 令f x 0 解此方程 求出它在定义域内的一切实 根 第三步 把函数f x
2、在间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面 的各实根按从小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的 定义域分成若干个小区间 第四步 确定f x 在各个小区间内的符号 根据f x 的符号判定函 数f x 在每个相应小区间内的增减性 重难聚焦 3 已知函数的单调性 如何求参数的取值范围 剖析 f x 0 或f x 0 是 函数单调递增 或单调递减 的充分 条件 但这个条件并不是必要的 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 内 单调递增 或单调递减 的充要条件是f x 0 或f x 0 恒成立 且 f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间 上的单
3、调性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷 多个点处f x0 0 只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区 间 因此 在已知函数f x 单调递增 或单调递减 的条件下求参数的 取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立来求解 然后检验参数的取值能否使f x 在 所给区间的任何一个子区间内不恒为零 从而求得参数的取值范 围 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 由f x 有唯一的一个负零点 可知f x 0有唯一的一个负实根 综上可知 函数图象的大致形状如图所示 典例透析 题型一题型二题型三题型四
4、反思在研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时 要注 意抓住各自的关键要素 对原函数 我们重点考察其图象在哪个区 间内单调递增 在哪个区间内单调递减 而对于导函数 则应考察其 函数值在哪个区间内大于零 在哪个区间内小于零 并考察这些区 间与原函数的单调区间是否一致 典例透析 题型一题型二题型三题型四 解析 由f x 的增减性与f x 的正负之间的关系进行判断 当 x 2 4 时 f x 0 f x 0 或f x 0 直接得 到单调递增 或递减 区间 2 当求得的单调区间不止一个时 单调区间之间要用 隔开 或用 和 相连 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思先由函数f x 在区间 a b 内单调递增 递减 推出 f x 0 f x 0 在区间 a b 内恒成立 再利用分离参数或函数性质 求解恒成立问题 对等号成立可单独验证说明 典例透析 题型一题型二题型三题型四 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思在解题中 常常会将必要条件作充分条件或将既不充分也不必 要条件作充要条件等使用而导致错误 这需要在学习过程中注意思 维的严密性
