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1、 1 三角函数的图像和性质 1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 描点法 正弦函数y sinx x 0 2 的图象中 五个关键点是 0 0 2 1 0 2 3 1 2 0 余弦函数y cosx x 0 2 的图像中 五个关键点是 0 1 2 0 1 2 3 0 2 1 2 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyxtanyx 图 象 定 义 域 RR 2 x xkk 值 域 1 11 1 R 最 值 当2 2 xk时 max 1y 当2 2 xk 时 min 1y 当 2xk 时 max 1y 当2xk 时 min 1y 既无最大值也无最小值 周 期 性 22 奇 偶
2、性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 3 2 2 22 kk 上是减函数 在2 2kk上是增函 数 在2 2kk上是减函 数 在 22 kk 上是增函数 对 称 性 对称中心 0k 对称轴 2 xk 对称中心 0 2 k 对称轴xk 对称中心 0 2 k 无对称轴 函 数 性 质 2 例作下列函数的简图 1 y sinx x 0 2 2 y cosx x 0 2 例利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x 的集合 2 1 sin 1 x 2 1 cos 2 x 3 周期函数定义 对于函数 yf x 如果存在一个非零常数T 使得当 x 取定义域内的每一
3、个值时 都有 f xTfx 那么函数 yf x就叫做周期函数 非零常数T 叫做这个函数的周期 注意 周期T 往往是多值的 如sinyx 2 4 2 4 都是周期 周期T 中最小的正数叫做 yf x的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 sinyx cosyx的最小正周期为2 一 般称为周期 正弦函数 余弦函数 2 T 正切函数 例求下列三角函数的周期 1 y sin x 3 2 y cos2x 3 y 3sin 2 x 5 4 y tan3x 例求下列函数的定义域和值域 1 2sinyx 2 3sinyx 3 lg cosyx 例 5 求函数sin 2 3 yx的单调区间 3 例不求值 比较
4、大小 1 sin 18 sin 10 2 cos 5 23 cos 4 17 解 1 2 10 18 2 2 cos 5 23 cos 5 23 cos 5 3 且函数y sinx x 2 2 是增函数 cos 4 17 cos 4 17 cos 4 sin 10 sin 18 0 4 5 3 即 sin 18 sin 10 0 且函数y cosx x 0 是减函数 cos 5 3 cos 4 即 cos 5 3 cos 4 0 cos 5 23 cos 4 17 0 4 函数sin0 0yx的图像 1 函数sin0 0yx的有关概念 振幅 周期 2 频率 1 2 f 相位 x 初相 2 振幅
5、变换 y Asinx xR A 0 且 A 1 的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 到原来的A倍得到的 它的值域 A A 最大值是A 最小值是 A 若 A0 且 1 的图象 可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 1 或伸 长 0 1 到原来的 1 倍 纵坐标不变 若 0 则可用诱导公式将符号 提出 再作图 决定了函数的周期 这一变换称为周期变换 4 相位变换 一般地 函数y sin x x R 其中 0 的图象 可以看作把正弦曲线上所有点向左 当 0 时 或向右 当 0 时 平行移动 个单位长度而得到 用平移法注意讲清方向 加左 减右 4 y sin x
6、 与y sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样 这一变换称为相位变 换 5 小结平移法过程 步骤 6 函数sinyx 当 1 xx时 取得最小值为 min y 当 2 xx时 取得最大值为 max y 则 maxmin 1 2 yy maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 例 如图 e 是 f x Asin x A 0 2 的一段图象 则 f x 的表达式为 例如图 b是函数 y Asin x 2 的图象的一部分 它的振幅 周期 初相各是 A A 3 3 4 6 B A 1 3 4 4 3 C A 1 3 2 4 3 D A 1 3 4 6 例 画出函数y 3sin
7、2x 3 x R的简图 作 y sinx 长度为2 的某闭区间 得 y sin x 得 y sin x 得 y sin x 得 y sin x 得 y Asin x 的图象 先在一 个周期闭区间上再扩充到R 上 沿 x 轴平移 个单位 横坐标伸长或缩短 横坐标伸长或缩短 1 沿 x 轴平移 个单位 纵坐标伸长或缩短 纵坐标伸长或缩短 图 e 5 解 五点法 由T 2 2 得T 列表 x 612312 7 6 5 2x 3 0 2 2 3 2 3sin 2x 3 0 3 0 3 0 例求函数 3 3tanxy的定义域 值域 并指出它的周期性 奇偶性 单调性 解 由 23 3kx得 18 5 3
8、k x 所求定义域为zk k xRxx 18 5 3 且 值域为 R 周期 3 T 是非奇非偶函数 在区间zk kk 18 5 3 183 上是增函数 例 已知函数y sin2x 3cos2x 2 1 用 五点法 作出函数在一个周期内的图象 2 求这个函数的周期和单调区间 3 求函数图象的对称轴方程 4 说明图象是由y sinx的图象经过怎样的变换得到的 解 y sin2x 3cos2x 2 2sin 2x 3 2 1 列表 x 612312 7 6 5 3 2x0 22 3 2 2 3 2sin 2xy 2 0 2 4 2 其图象如图示 2 2 2 T 由 2 2k 2x 3 2 2k 知函
9、数的单调增区间为 12 5 k 12 k k Z 由 2 2k 2x 3 2 3 2k 知函数的单调减区间为 6 12 k 12 k k Z 3 由 2x 3 2 k 得x 12 2 k 函数图象的对称轴方程为x 12 2 k k Z 4 把函数y1 sinx的图象上所有点向左平移 3 个单位 得到函数y2 sin x 3 的图象 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到y3 sin 2x 3 的图象 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍 横坐标不变 得到y4 2sin 2x 3 的图象 最后把y4图象上所有点向下平移2 个单位 得到函数y 2sin 2x 3 2 的图象
