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1、1 1 2余弦定理 二 学习目标 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解三角形 3 能利用正 余弦定理解决三角形的有关问题 知识链接 1 以下问题不能用余弦定理求解的是 1 已知两边和其中一边的对角 解三角形 2 已知两角和一边 求其他角和边 3 已知一个三角形的两条边及其夹角 求其他的边和角 4 已知一个三角形的三条边 解三角形 2 2 利用余弦定理判断三角形的形状 正确的是 1 在 ABC中 若a2 b2 c2 则 ABC为直角三角形 2 在 ABC中 若a2b2 c2 则 ABC为钝角三角形 1 3 预习导引 1 正弦定理及其变形 1 R为 ABC外接圆半径 2 a b c
2、 2 余弦定理及其推论 1 a2 b2 c2 a2 b2 2abcosC 2R 2RsinA 2RsinB 2RsinC b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB 2 cosA cosB cosC 3 在 ABC中 c2 a2 b2 C为 c2 a2 b2 C为 c2 a2 b2 C为 3 三角变换公式 1 cos 2 cos 3 cos2 cos cos sin sin cos cos sin sin cos2 sin2 2cos2 11 2sin2 直角 钝角 锐角 要点一正 余弦定理的综合应用例1如图所示 在四边形ABCD中 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60
3、 BCD 135 求BC的长 解在 ABD中 AD 10 AB 14 BDA 60 设BD x 由余弦定理 得AB2 AD2 BD2 2AD BDcos BDA 142 102 x2 2 10 xcos60 即x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 BD 16 AD CD BDA 60 CDB 30 在 BCD中 由正弦定理 规律方法余弦定理和正弦定理一样 都是围绕着三角形进行边角互换的 在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理 还是余弦定理 必要时也可列方程 组 求解 同时 要有意识地考虑用哪个定理更合适 或是两个定理都要用 要抓住能利用某个定理的信息 跟踪演练1在 AB
4、C中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinAcosC 3cosAsinC 求b 解方法一在 ABC中 sinAcosC 3cosAsinC 则由正弦定理及余弦定理有 化简并整理得 2 a2 c2 b2 又由已知a2 c2 2b 4b b2 解得b 4或b 0 舍 方法二由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosA 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosA 2 又sinAcosC 3cosAsinC sinAcosC cosAsinC 4cosAsinC sin A C 4cosAsinC 即sinB 4cosAsinC 由正弦定理得sinB sinC
5、 故b 4ccosA 由 解得b 4 要点二利用正 余弦定理证明三角形中的恒等式例2在 ABC中 有 1 a bcosC ccosB 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 这三个关系式也称为射影定理 请给出证明 证明方法一 1 设 ABC外接圆半径为R 由正弦定理得b 2RsinB c 2RsinC bcosC ccosB 2RsinBcosC 2RsinCcosB 2R sinBcosC cosBsinC 2Rsin B C 2RsinA a 即a bcosC ccosB同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 方法二 1 由余弦定理
6、得 a bcosC ccosB 同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 规律方法 1 证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异 形式上一般有 左 右 右 左或左 中 右三种 2 利用正 余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径 一是把角的关系通过正 余弦定理转化为边的关系 二是把边的关系转化为角的关系 一般是通过正弦定理转化 跟踪演练2在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 求证 证明方法一因为左边 等式成立 方法二设 ABC外接圆半径为R 右边 等式成立 要点三利用正 余弦定理判断三角形形状例3在 ABC中 已知 a b c b c
7、a 3bc 且sinA 2sinBcosC 试确定 ABC的形状 解由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc 即a2 b2 c2 bc 又A 0 A 又sinA 2sinBcosC 由正 余弦定理 得a 2b b2 c2 b c ABC为等边三角形 规律方法题中边的大小没有明确给出 而是通过一个关系式来确定的 可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 也可以利用余弦定理将边 角关系转化为边的关系来判断 跟踪演练3在 ABC中 若B 60 2b a c 试判断 ABC的形状 解方法一根据余弦定理得b2 a2 c2 2accosB B 60 2b a c a2 c
8、2 2accos60 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2a 即b a ABC是等边三角形 方法二根据正弦定理 2b a c可转化为2sinB sinA sinC 又 B 60 A C 120 C 120 A 2sin60 sinA sin 120 A 整理得sin A 30 1 A 60 C 60 ABC是等边三角形 1 在 ABC中 sinA sinB sinC 3 2 3 则cosC的值为 解析根据正弦定理 a b c sinA sinB sinC 3 2 3 设a 3k b 2k c 3k k 0 则有cosC A 当堂检测 2 在 ABC中 若2cosBsinA
9、 sinC 则 ABC的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等边三角形解析 2cosBsinA sinC 2 a c a b 故 ABC为等腰三角形 C 3 在 ABC中 若a2 c2 b2 ac 则角B的值为 解析根据余弦定理 cosB 又B 0 所以B 4 在 ABC中 若B 30 AB 2 AC 2 则满足条件的三角形有几个 解设BC a AC b AB c 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB 22 a2 2 2 2a 2cos30 即a2 6a 8 0 解得a 2或a 4 当a 2时 三边为2 2 2可组成三角形 当a 4时 三边为4 2 2也可组
10、成三角形 满足条件的三角形有两个 课堂小结1 已知两边及其中一边的对角 解三角形 一般情况下 利用正弦定理求出另一边所对的角 再求其他的边或角 要注意进行讨论 如果采用余弦定理来解 只需解一个一元二次方程 即可求出边来 比较两种方法 采用余弦定理较简单 2 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 并利用三角恒等变形进行化简 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 3 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 4 利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解 原因是余弦定理中涉及的是边长的平方 通常转化为一元二次方程求正实数 因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件
