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1、第九节指数函数一、基础知识批注理解深一点1指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数2指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y=ax(a0,且a1）的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a0，且a1)的图象关于y轴对称(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1时，指数函数的图
2、象“下降”三、基础小题强化功底牢一点(1)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(2)若am0，且a1)，则m1)的值域是(0，)()答案：(1)(2)(3)(二)选一选1函数y2|x|的值域为()A0，)B1，)C(1，) D(0,1答案：B2函数f(x)的定义域是()A(，0 B0，)C(，0) DR解析：选A由题意，得15x0，即5x1，所以x0，即函数f(x)的定义域为(，03函数f(x)ax21(a0，且a1)的图象必经过点()A(0,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)解析：选D由f(2)a012，知f(x)的图象必过点(2,2)(三)填一填4若函数f(x)ax(a0，且
3、a1)的图象经过点P，则f(1)_.解析：代入得，a，所以f(1)1.答案：5若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)(a2)x为减函数，0a21，即2a3.答案：(2,3) 典例(1)函数f(x)21x的大致图象为()(2)若函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_解析(1)函数f(x)21x2x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围为(，0答案(1)A
4、(2)(，0变透练清1.本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)2|x1|，则f(x)的大致图象为()解析：选Bf(x)2|x1|的图象是由y2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确2.本例(2)变为：若函数f(x)|3x1|k有一个零点，则k的取值范围为_解析：函数f(x)有一个零点，即y|3x1|与yk有一个交点，由典例(2)得y|3x1|的图象如图所示，故当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案：01，)3若函数y21xm的图象不经过第一象限，求m的取值范围解：y21xmx1m，函数yx1的图象如图所示，则要使其图象不经过第
5、一象限，则m2.故m的取值范围为(，2解题技法指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 考法(一)比较指数式的大小典例(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbca Dcab解析因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255，由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得ba0的解集为_解析f(x)为偶函数，当x0时，x
6、0，则f(x)f(x)2x4.f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x0.不等式的解集为x|x4或x4或xag(x)，当a1时，等价于f(x)g(x)；当0a1时，等价于f(x)1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间；(2)若0a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调减(增)区间即“同增异减”题组训练1函数y的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)解析：选C设tx22x1，则yt.因为01，所以yt为关于t的减函数因为t222，所以0yt24，故所求函数的值域为(0,42设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，
7、b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：选C因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以ba1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是()AMN BMNCMN解析：选D因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a1)0.21，N0.1N.4已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_解析：当a1时，代入可知不成立所以a的值为.答案：A级保大分专练1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A因为函数f(x)1e|x|是偶函
8、数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质2(2019贵阳监测)已知函数f(x)42ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,6)B(1,5)C(0,5) D(5,0)解析：选A由于函数yax的图象过定点(0,1)，当x1时，f(x)426，故函数f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)3已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCcab Dbca解析：选A由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.21，所以ab.综上，abc.4(2019南宁调研)函数f(x
9、)的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选D令xx20，得0x1，所以函数f(x)的定义域为0,1，因为yt是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数yx2x在0,1上的减区间，故选D.5.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0解析：选D由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的图象的基础上向左平移得到的，所以b0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.7(2018深圳摸底)已知a3.3，b3.9，则a_b(填“”)解析：因为函数yx为减函数，所以3.33.9，即ab.答案：8函数yxx1在3,2上的值域是_解析：令tx，由x3,2，得t.则yt2t12.当t时，ym
