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1、第十一节函数与方程一、基础知识批注理解深一点1函数的零点(1)零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根函数零点的存在性
2、定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二、常用结论汇总规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号三、基础
3、小题强化功底牢一点(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(二)选一选1已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2)B(2,3)C(3,4)
4、 D(4,5)解析：选B由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，得x2，所以函数f(x)的定义域为(2，)，所以当f(x)0，即(x1)ln(x2)0时，解得x1(舍去)或x3.3函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：选B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0，故函数f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)(三)填一填4已知2是函数f(x)的一个零点，则ff(4)的值是_解析：由题意知log2(2m)0，m1，ff(4)f(
5、log23)23.答案：35若函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，函数f(x)1在(1,1)上没有零点，所以a0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，所以(a1)(3a1)0，解得a1，所以实数a的取值范围是.答案： 典例(1)(2018福建期末)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2 D3(2)设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在
6、区间(1，e)内有零点解析(1)解方程法令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.(2)法一：图象法令f(x)0得xln x作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(x)在内无零点，在(1，e)内有零点法二：定理法当x时，函数图象是连续的，且f(x)0，f(1)0，f(e)e10，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内答案(1)C(2)D解题技法掌握判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法若对应方程f(x)0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(
7、如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数题组训练1.函数f(x)x3x21的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2,3)解析：选C函数f(x)x3x21是连续函数因为f(1)11110，所以f(1)f(2)0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)2.函数f(x)的零点个数为()A3 B2C7 D0解析：选B法一：(解方程法)由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二：(图象
8、法)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点3.设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在区间如图如示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2) 考法(一)已知函数零点个数求参数范围典例(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，) D1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x
9、)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)答案C考法(二)已知函数零点所在区间求参数范围典例(2019安庆摸底)若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，x1,1，2x，2.实数a的取值范围是.答案解题技法1利用函数零点求参数范围
10、的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法分离参数(ag(x)后，将原问题转化为yg(x)的值域(最值)问题或转化为直线ya与yg(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解2.利用函数零点求参数范围的步骤题组训练1(2019北京西城区模拟)若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(
11、1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.3(2018豫西南部分示范性高中联考)函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B易知f(x)ln x的定义域为(0，)，且在定义域上单调递增f(1)20，f(1)f(2)0，根据零点存在性定理知f(x)ln x的零点所在的区间为(1,2)4若函数f(x)ax1在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C(，1)(1，) D(1,1)解析：选C由题意知，f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得a1或a1.5已知实数a1,0b1，则函数f(x)axxb的零点所在的区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)
