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1、考点强化练16等腰三角形基础达标一、选择题1.(2018四川达州)若实数m,n满足|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,则ABC的周长是()A.12B.10C.8D.6答案B解析由题意得m-2=0,n-4=0,m=2,n=4,又m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,若腰为2,底为4,此时不能构成三角形,舍去,若腰为4,底为2,则周长为4+4+2=10.故选B.2.(2018山东淄博)如图,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.4D.8答案B解析在RtABC中,CM平
2、分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,AMN=NMC=B,NCM=BCM=NMC,ACB=2B,NM=NC,B=30,AN=1,MN=2,AC=AN+NC=3,BC=6.3.(2018江苏扬州)在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,CE平分ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC答案C解析ACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.4.(2018湖南常德)如
3、图,已知BD是ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,BAC=90,AD=3,则CE的长为()A.6B.5C.4D.3答案D解析ED是BC的垂直平分线,DB=DC,C=DBC,BD是ABC的角平分线,ABD=DBC,C=DBC=ABD=30,BD=2AD=6,CE=CDcosC=3,故选D.5.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是()A.有一个内角是60B.有一个外角是120C.有两个角相等D.腰与底边相等答案C二、填空题6.(2018江苏徐州)边长为a的正三角形的面积等于.答案a2解析过点A作ADBC于点D,ADBC,BD=CD=a,AD=a,面积则是:aa=a2.7.(2
4、018湖南娄底)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,DEAB于点E,BFAC于点F,DE=3cm,则BF=cm.答案6解析在RtADB与RtADC中,RtADBRtADC,SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB,SABC=ACBF,ACBF=3AB,AC=AB,BF=3,BF=6.二、解答题8.(2018江苏徐州)已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,求证:A=C.证明连接AC,AB=BC,AD=CD,BAC=BCA,DAC=DCA,BAC+DAC=BCA+DCA,即A=C.9.如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE
5、=BAD.证明证法1:AB=AC,ABC是等腰三角形,AD是BC边上的中线,ADBC,BAD=CAD,CAD+C=90,BEAC,CBE+C=90,CBE=CAD,CBE=BAD.证法2:AB=AC,ABC=C,又AD是BC边上的中线,ADBC,BAD+ABC=90,BEAC,CBE+C=90,CBE=BAD.导学号1381405210.如图所示,等边三角形ABC和等边三角形DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证PQC为等边三角形.证明在等边三角形ABC和等边三角形DCE中,BC=AC,DC=EC,ACB=DCE=60,所以ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD
6、=ACE,在BCD和ACE中,所以BCDACE(SAS),所以1=2,因为ACB=DCE=60,所以ACD=180-ACB-DCE=60,所以BCQ=ACP,在BCQ和ACP中,所以BCQACP,所以CQ=CP,又因为QCP=60,所以PQC为等边三角形.能力提升一、选择题1.(2018浙江湖州)如图,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是()A.20B.35C.40D.70答案B解析AD是ABC的中线,AB=AC,CAD=20,CAB=2CAD=40,B=ACB=(180-CAB)=70.CE是ABC的角平分线,ACE=ACB=35.故选B.二、
7、填空题2.(2018江苏淮安)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.答案解析连接AD.PQ垂直平分线段AB,DA=DB,设DA=DB=x,在RtACD中,C=90,AD2=AC2+CD2,x2=32+(5-x)2,解得x=,CD=BC-DB=5-,故答案为.3.(2018黑龙江)如图,已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边三角形AB1C1;再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边三
8、角形AB2C2;再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边三角形AB3C3;,记三角形B1CB2的面积为S1,三角形B2C1B3的面积为S2,三角形B3C2B4的面积为S3,如此下去,则Sn=.答案n解析等边三角形ABC的边长为2,AB1BC,BB1=1,AB=2,根据勾股定理得AB1=,第一个等边三角形AB1C1的面积为()2=1;等边三角形AB1C1的边长为,AB2B1C1,B1B2=,AB1=,根据勾股定理得AB2=,第二个等边三角形AB2C2的面积为2=2;依此类推,第n个等边三角形ABnCn的面积为n.4.(2018四川南充)如图,在ABC中,D
9、EBC,BF平分ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=.答案解析DEBC,F=FBC,BF平分ABC,DBF=FBC,F=DBF,DB=DF,DEBC,ADEABC,即,解得DE=,DF=DB=2,EF=DF-DE=2-.三、解答题5.如图,等边三角形ABC中,点D,E,F分别同时从点A,B,C出发,以相同的速度在AB,BC,CA上运动,连接DE,EF,DF.(1)证明:DEF是等边三角形;(2)在运动过程中,当CEF是直角三角形时,试求的值.(1)证明ABC是等边三角形,A=B=C=60,AB=BC=CA,AD=BE=CF,BD=EC=AF,在ADF,BED和CFE中ADFBEDCFE,DE=EF=FD,DEF是等边三角形.(2)解ABC和DEF是等边三角形,DEFABC,EFAC,BDE=CEF=30,BE=BD,即BE=BC,CE=BC,EF=ECsin60=BCBC,.导学号1381405310
