《2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）解析版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 17 页 高考数学模拟试卷 一 高考数学模拟试卷 一 题号 一二总分 得分 一 填空题 本大题共 14 小题 共 70 0 分 1 已知集合 A 1 3 5 7 B 0 1 3 则集合 A B 2 若 其中 i 为虚数单位 a b R 则 ab 的值为 3 已知一组数据 7 8 11 14 15 则该组数据的方差为 4 一个算法的流程图如图所示 则输出的 a 的值为 5 函数 f x ln 4 x2 的定义域为 6 一根绳子长为 5 米 若将其任意剪为两段 则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 7 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线的离心率为 则该双曲线的 焦距为
2、 8 某长方体的长 宽 高分别为 2cm 2cm 4cm 则该长方体的体积与其外接球的 体积之比为 9 已知等差数列 an 满足 a4 4 且 a1 a2 a4成等比数列 则 a3的所有值为 10 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 O1 x2 y2 9 与圆 O2 x2 y2 4x 2y 3 0 的公共弦的 长为 11 若函数 f x ax2 a 1 a R 存在零点 且与函数 f f x 的零点完全相同 则实数 a 的值为 12 如图 在直角 ABC 中 ACB 90 BAC 60 AB 4 以 BC 为直径向 ABC 外作半圆 点 P 在半圆弧 上 且满足 则的值为 第 2 页 共 17
3、页 13 在 ABC 中 已知 AB 边上的中线 CM 1 且 成等差数列 则 AB 的 长为 14 已知函数 f x ex 1 若存在实数 a b a b 使得 f a f b 则 a 2b 的 最大值为 二 解答题 本大题共 11 小题 共 144 0 分 15 如图 在三棱锥 A BCD 中 AB BC BE AC 点 F 是 CD 的中 点 EF 3 BF 5 求证 1 EF 平面 ABD 2 平面 ABC 平面 ADC 16 在 中 已知 1 求的长 2 求的值 17 如图所示 现有一张边长为 10cm 的正三角形纸片 ABC 在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等 的四边形 ADA
4、1F1 BD1B1E CE1C1F 剪去的四边形 均有一组对角为直角 然后把三个矩形 A1B1D1D B1C1E1E A1C1FF1折起 构成一个以 A1B1C1为底面 第 3 页 共 17 页 的无盖正三棱柱 1 若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为 3 求该三棱柱的高 2 求所折成的正三棱柱的体积的最大值 18 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 a b 0 经过点 设椭圆 C 的左顶点为 A 右焦点为 F 右准线与 x 轴交于点 M 且 F 为线段 AM 的中点 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若过点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于另一点 P P 在 x 轴上方 直线 P
5、F 与椭 圆 C 相交于另一点 Q 且直线 l 与 OQ 垂直 求直线 PQ 的斜率 19 设函数 f x ex alnx a R 其中 e 为自然对数的底数 1 当 a 0 时 判断函数 f x 的单调性 2 若直线 y e 是函数 f x 的切线 求实数 a 的值 3 当 a 0 时 证明 f x 2a alna 第 4 页 共 17 页 20 定义 从数列 an 中抽取 m m N m 3 项按其在 an 中的次序排列形成一个新 数列 bn 则称 bn 为 an 的子数列 若 bn 成等差 或等比 则称 bn 为 an 的 等差 或等比 子数列 1 记数列 an 的前 n 项和为 Sn
6、已知 求数列 an 的通项公式 数列 an 是否存在等差子数列 若存在 求出等差子数列 若不存在 请说明理 由 2 已知数列 an 的通项公式为 an n a a Q 证明 an 存在等比子数列 21 已知 1 是矩阵的一个特征值 求点 1 2 在矩阵 A 对应的变换作用下 得到的点的坐标 22 已知曲线 C 的极坐标方程为 2sin 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴 建立 平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 1 求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程 2 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 23 已知关于 x 的不等式 x2 mx n 0 的解集为 x 1 x
7、 2 其中 m n R 求证 第 5 页 共 17 页 24 已知正四棱锥 P ABCD 的底面边长和高都为 2 现 从该棱锥的 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角 形 设随机变量 X 表示所得三角形的面积 1 求概率 P X 2 的值 2 求随机变量 X 的概率分布及其数学期望 E X 25 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 过 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交 于 A B 两点 B 在 x 轴的上方 且点 B 的横坐标为 4 1 求抛物线 C 的标准方程 2 设点 P 为抛物线 C 上异于 A B 的点 直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线 于 E
8、 G 两点 x 轴与准线的交点为 H 求证 HG HE 为定值 并求出定值 第 6 页 共 17 页 答案和解析答案和解析 1 答案 1 3 解析 解 A 1 3 5 7 B 0 1 3 A B 1 3 故答案为 1 3 进行交集的运算即可 考查列举法的定义 以及交集的运算 2 答案 2 解析 解 解得 ab 2 故答案为 2 把已知等式左边利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数相等的条件列式求得 a b 的值 则答案可求 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数相等的条件 是基础题 3 答案 10 解析 解 数据的平均数为 方差为 故填 10 根据所给数据计算出平均数 代入方差的计算公式即
9、可 本题考查了平均数 方差的计算 属于基础题 4 答案 9 解析 解 第 1 步 n 1 4 成立 a a 3 3 n n 1 2 第 2 步 n 2 4 成立 a a 3 6 n n 1 3 第 3 步 n 3 4 成立 a a 3 9 n n 1 4 第 4 步 n 4 4 不成立 退出循环 所以 a 9 故答案为 9 模拟程序的运行过程 即可得出程序运行后输出的 a 值 本题考查了程序的运行与应用问题 是基础题 5 答案 2 2 解析 解 由题意得 4 x2 0 解得 2 x 2 故函数的定义域是 2 2 第 7 页 共 17 页 故答案为 2 2 根据对数函数的性质求出函数的定义域即可
10、 本题考查了对数函数的性质 考查函数的定义域问题 是一道基础题 6 答案 解析 解 如下图 在 A C 之间任意一点剪开 或在 BD 之间任意一点剪开 都可以满足有一段大于 3 米 所以 所求的概率为 P 故答案为 由题意画出图形 数形结合得答案 本题考查了概率的加法问题 考查几何概型问题 是一道基础题 7 答案 4 解析 解 双曲线双曲线中 b 1 又 c 离心率为 即 9a2 9 12a2 所以 c 2 所以 双曲线的焦距为 4 故答案为 4 利用双曲线的标准方程求出双曲线的离心率 然后求出 a c 即可得到双曲线的焦距 本题考查双曲线的简单性质的应用 是基本知识的考查 8 答案 解析 解
11、 长方体的体积为 V1 2 2 4 16 长方体外接球的直径为 2R 外接球的体积为 V2 长方体的体积与其外接球的体积之比为 故填 长方体的体积为 V1 2 2 4 16 设球 第 8 页 共 17 页 的半径为 R 则因为球心为长方体的中心 所以 2R 求出球的半径 则球的体积可以求出 则长方体的体积与其 外接球的体积比值可求 本题考查了球的体积 长方体的外接球 解题时注意球心为长方体的中心 属于中档题 9 答案 3 或 4 解析 解 因为 a1 a2 a4成等比数列 所以 即 化简 得 d d a1 0 所以 或 解得 或 所以 a3 a4 4 或 a3 a1 2d 3 所以 a3的所有
12、值为 3 4 故答案为 3 或 4 利用等差数列以及等比数列的通项公式 结合已知条件求出首项与公差 然后求解即可 本题考查等差数列 等比数列的应用 通项公式的应用 考查计算能力 10 答案 解析 分析 先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程 再求圆心到直线的距离 最后用勾股定理 可得 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定 属中档题 直线与圆的方程 两圆的公共弦长 问题 解答 解 由 两个式子相减得 两圆的公共弦所在的直线方程为 2x y 3 0 圆 O1 x2 y2 9 的圆心 0 0 到直线 2x y 3 0 的距离为 公共弦长为 故答案为 11 答案 1 解析 解 函数 f x ax2 a
13、1 a R 存在零点 显然 a 0 设 x x0是函数 f x 的零点 则 因为函数 f x 与函数 f f x 的零点完全相同 第 9 页 共 17 页 即 x x0是函数 f f x 的零点 故 又因为 所以 即 a 1 0 得 a 1 故答案为 1 利用函数的零点相同 列出方程 转化求解即可 本题考查函数的零点 考查分析问题解决问题的能力 12 答案 7 解析 分析 本题考查平面向量的坐标运算 向量的数量积 的应用 考查数形结合以及计算能力 设 BC 为直径的圆交 AB 于 D 则 ABC 30 以 D 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 求 出相关点的坐标 利用向量的数量积转化求解 即
14、可 解答 解 ACB 90 BAC 60 AB 4 所以 AC 2 BC 2 BDC 90 设 BC 为直径的圆交 AB 于 D 则 ABC 30 以 D 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 则 CD BD 3 AD 1 A 1 0 B 3 0 C 0 设 P x y 解得 x 又 BC 为直角 所以 BPC 90 所以 0 即 0 即 0 解得 所以 P 1 7 故答案为 7 13 答案 解析 解 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 根据中线长公式 得 由成等差数列 第 10 页 共 17 页 得 从而 2 即为 a2 b2 2c2 2 c2 解得 故答案为 运用三角
15、形的中线长公式可得 a2 b2 2 c2 再由等差数列的中项性质和三角函数的恒 等变换公式 结合正弦定理 余弦定理 化简可得 a2 b2 2c2 解方程可得所求值 本题考查三角形的余弦定理和正弦定理 以及等差数列中项性质 三角函数的恒等变换 考查化简运算能力 属于中档题 14 答案 解析 解 设 f a f b t 则 ea 1 eb 1 t 解得 a ln 1 t b ln 1 t 所以 a 2b ln 1 t 2ln 1 t ln 1 t 1 t 2 设 g t 1 t 1 t 2 0 t 1 则 g t 1 3t 1 t 因为时 g t 0 g t 单调递增 时 g t 0 g t 单调
16、递减 所以 所以 a 2b 的最大值为 故答案为 设 f a f b t 则 ea 1 eb 1 t 解得 a ln 1 t b ln 1 t 推出 a 2b 的表 达式 设 g t 1 t 1 t 2 0 t 1 求出导函数 判断函数的单调性 然后 求解最值即可 函数的导数及其应用 函数的单调性以及函数的最值的求法 考查转化思想以及计算能 力 15 答案 证明 1 ABC 中 因为 AB BC BE AC 所以 E 为 AC 的中点 又因为点 F 是 CD 的中点 所以 EF AD 又 AD 平面 ABD EF 平面 ABD 所以 EF 平面 ABD 2 在 Rt ABC 中 因为 所以 AC 8 又因为 AE CE 所以 BE 4 又因为 EF 3 BF 5 所以 BF2 BE2 EF2 即 BE EF 又因为 BE AC AC 平面 ACD EF 平面 ACD AC EF E 所以 BE 平面 ACD 第 11 页 共 17 页 又因为 BE 平面 ABC 所以平面 ABC 平面 ADC 解析 1 由等腰三角形以及中位线的性质证明 EF AD 即可证明 EF 平面 ABD 2 由
