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1、第2课时利用导数研究函数的最值 第三章3 3 2利用导数研究函数的极值 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1 自主学习 PARTONE 知识点一函数f x 在闭区间 a b 上的最值函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在处或处取得 特别提醒 1 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的连续函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 2 函数的最大
2、值和最小值是一个整体性概念 3 函数y f x 在 a b 上连续 是函数y f x 在 a b 上有最大值或最小值的充分不必要条件 端点 极值点 知识点二求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 知识点三最值与极值的区别与联系 1 极值是对某一点附近 即局部 而言 最值是对函数的定义区间的整体而言 2 在函数的定义区间内 极大 小 值可能有多个 但最大 小 值只有一个 或者没有 3 函数f x 的极值点为定义域中的内点 而最值点可以是区间的端点 极值 端点
3、处 最大值 最小值 4 对于可导函数 函数的最大 小 值必在极大 小 值点或区间端点取得 如图是y f x 在区间 a b 上的函数图象 显然f x1 f x3 f x5 为极大值 f x2 f x4 f x6 为极小值 最大值y M f x3 f b 分别在x x3及x b处取得 最小值y m f x4 在x x4处取得 1 函数的最大值一定是函数的极大值 2 开区间上的单调连续函数无最值 3 函数f x 在区间 a b 上的最大值和最小值一定在两个端点处取得 思考辨析判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2 题型探究 PARTTWO 题型一求函数的最值 命题角度1不
4、含参数的函数求最值例1求下列各函数的最值 1 f x 4x3 3x2 36x 5 x 2 多维探究 解f x 12x2 6x 36 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 反思感悟求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值大小 确定最值 解易知f x 的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 命题角度2含参数的函数求最值例2已知
5、函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 解由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时
6、函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 反思感悟对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 跟踪训练2已知函数f x lnx 1 当a 0时 求函数f x 的单调区间 a0 故函数在其定义域 0 上单调递增 2 若函数f x 在 1 e 上的最小值是 求a的值
7、当x 1 e 时 分如下情况讨论 当a0 函数f x 单调递增 其最小值为f 1 a0 f x 单调递增 所以 函数f x 的最小值为f a lna 1 题型二由函数的最值求参数 例3 2018 四川省雅安中学期中 已知函数f x ax3 6ax2 b a 0 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解由题设知a 0 由f x ax3 6ax2 b 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x
8、取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思感悟已知函数的最值求参数的步骤 1 求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 2 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 3 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 解析f x x2 x 2a 当x x1 x2 时 f x 0 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当0 a 2时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f
9、x2 题型三与最值有关的恒成立问题 解f x x2 a 由f 2 0 得a 4 令f x x2 4 0 得x 2或x 2 所以f x 的单调递增区间为 2 2 解得m 2或m 3 所以实数m的取值范围是 3 2 反思感悟不等式恒成立问题常用的解题方法 跟踪训练4已知函数f x xlnx 若对所有x 1都有f x ax 1 则实数a的取值范围为 1 解析由题意 得f x ax 1在 1 上恒成立 当x 1时 g x 0 故g x 在 1 上是增函数 所以g x 的最小值是g 1 1 因此a g x min g 1 1 故a的取值范围为 1 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJ
10、ITUILI 已知最值求参数的范围 典例 2018 太原检测 已知函数f x 3x2 1 x 0 g x x3 9x 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为28 则k的取值范围为 3 解析f x g x x3 3x2 9x 1 令F x f x g x 则F x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令F x 0 得x1 3 x2 1 当x1时 F x 0 当 3 x 1时 F x 0 所以 3 和 1 为F x 的单调递增区间 3 1 为F x 的单调递减区间 则F 3 28为函数F x 的极大值 又F 2 3 结合函数图象 图略 如果函数F x 在区间 k 2 上的最大值为28
11、 则该区间包含极大值点x 3 所以k 3 即k的取值范围是 3 素养评析 1 由函数的最值求参数的取值范围是利用导数求函数最值的逆向应用 一般先求导 利用导数研究函数的单调性和极值点 探索最值点 根据已知最值列不等式解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 2 利用极值点与最值点的关系 以极值点假定为最值点为突破口 利用单调性进行严密的逻辑推理 从本例体现出逻辑推理的意义和价值 3 达标检测 PARTTHREE 1 下列说法正确的是A 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值B 闭区间上的连续函数一定有最值 也一定有极值C 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之
12、 若有极值 则一定有最值D 若函数在给定区间上有最值 则有且仅有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可有多个极值 1 2 3 4 5 解析由极值与最值的区别知选D 2 函数f x ex x在区间 1 1 上的最大值是A 1 B 1C e 1D e 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析由题意得f x ex 1 令f x 0 得x 0 当x 1 0 时 f x 0 所以f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 所以f 1 f 1 所以f x max f 1 e 1 1 2 3 4 5 由y 0 得x 0或x 1 1 2 3 4 5 4 已知e是自然对数的底数 若函数f
13、x ex x a的图象始终在x轴的上方 则实数a的取值范围是 解析 函数f x ex x a的图象始终在x轴的上方 f x ex x a 0对一切实数x恒成立 即f x min 0 f x ex 1 令f x 0 解得x 0 当x0时 f x 0 则f x 在 0 上单调递增 当x 0时 f x 取得极小值即最小值 为f 0 1 a 1 a 0 即a 1 故实数a的取值范围是 1 1 1 2 3 4 5 1 求a b的值及函数f x 的单调区间 1 2 3 4 5 解由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 所以f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 若对任意x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 因为f 2 2 c 所以f 2 2 c为最大值 要使f x f 2 2 c 解得c2 故c的取值范围为 1 2 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 求函数在闭区间上的最值 只需比较极值和端点处的函数值即可 若函数在一个开区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 2 已知最值求参数 用参数表示最值时 应分类讨论 3 恒成立 问题可转化为函数最值问题
