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1、一 比较法1作差比较法(1)作差比较法的理论依据ab0ab，ab0a0，若1，则ab；若1，则ab；b1，则ab；若b.(2)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b的符号；作商；变形整理；判定与1大小关系；得出结论作差比较法证明不等式例1已知xy，求证：x3x2yxy2x2yxy2y3.思路点拨因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小证明x3x2yxy2(x2yxy2y3)x(x2xyy2)y(x2xyy2)(xy)(x2xyy2)(xy).聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。因为xy，所以xy0，于是(xy)0，残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们
2、怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。所以x3x2yxy2x2yxy2y3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥
3、柽鳗铟。1求证：a2b22(ab1)证明：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)2已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)证明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)当ab0时，bnan0，ab0，(ab)(bnan)a0时，bnan0，ab0.(ab)(bnan)0时，(bnan)(ab)0.综合可知，对于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比较法证明不等式例2设a0，b0，求证：aabb(ab).思路点拨不等式两端都是指数式，
4、它们的值均为正数，可考虑用作商比较法证明aabb0，(ab)0，ab.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。当ab时，显然有1；厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。当ab0时，1，0，由指数函数单调性，有1；茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。当ba0时，01，1.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。综上可知，对任意实数a，b，都有aabb(ab).当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较
5、籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。3已知abc0.求证：a2ab2bc2cabcbcacab.证明：由abc0，得abcbcacab0.作商預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。aabaacbbcbbaccaccbabacbc.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。由abc0，得ab0，ac0，bc0，且1，1，1.abacbc1.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。a2ab2bc2cabcbcacab.4设nN，n1，求证logn(n1)log(n1)(n2)证明：因为n1，所以logn(n
6、1)0，log(n1)(n2)0，所以log(n1)(n2)log(n1)n擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。2贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。2坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。21.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。故log(n1)(n2)logn(n1)，即原不等式得证.比较法的实际应用例3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？買鲷鴯譖昙膚
7、遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。思路点拨先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2 ，依题意有mns，t2.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。t1，t2.t1t2.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20.即t1a时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2 x，構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰
8、虽涤漬确轾。Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)，当x10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()Aa2b2Blg b21 D.a2b2輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。解析：选Babb0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10，lg b2Q BP0恒成立，QP.法二：PQ，a2a10恒成立且a4a20，PQ0，即QP.3已知a0，b0，m，
9、n，p，则m，n，p的大小关系是()尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。Amnp BmnpCnmp Dnmp解析：选A由m，n，得ab0时，mn, 可排除B、C项比较A、D项，不必论证与p的关系取特殊值a4，b1，则m4，n213，mn，可排除D，故选A.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。4设mn，nN，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x)n，x1，则a与b的大小关系为()凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。AabBabC与x值有关，大小不定D以上都不正确解析：选Aablgmxlgmxlgn
10、xlgnx(lgmxlgnx)恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。(lgmxlgnx).硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。x1，lg x0.当0lg xb；当lg x1时，ab；当lg x1时，ab.应选A.5若0x1，则与的大小关系是_阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。解析：.因为0x1，所以0.所以.答案：Q，则实数a，b满足的条件为_解析：PQa2b25(2aba24a)a2b252aba24aa2b22a
11、b14a24a(ab1)2(a2)2，PQ，PQ0，即(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案： ab1或a27一个个体户有一种商品，其成本低于元如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。解析：设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为L21202%a，则L1L21000.025a2.51200.02a0.045，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。a，L1L2，月末出售好答案：月末
