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1、复习课(三)导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小考点精要(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。典例(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_聞創沟燴鐺險爱
2、氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。解析由题意可知f(x)a，所以f(1)a1，因为f(1)a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.令x0，得y1，即直线l在y轴上的截距为1.答案1类题通法(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8)残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。1曲线y在
3、点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.2已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。A. B.C. D.解析：选Dyx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0，故选D.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以
4、中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。考点精要函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0；函数f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0.即f(x)0(f(x)0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純
5、榮詠。特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接典例(2017全国卷节选)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.讨论f(x)的单调性鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。当x时，f(x)0，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。故f(x)在上单
6、调递增，在上单调递减铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)计算函数f(x)的导数f(x)(3)解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。注意求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误1函数f(x)2x2ln x的单调递增区间是()A. B.和贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。C. D.和坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣
7、脐鯪裣鄧鯛。解析：选C由题意得f(x)4x，且x0，由f(x)0，即4x210，解得x.故选C.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。2已知函数f(x)x22xaex.(1)若a1，求f(x)在x1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x22xex，则f(1)1221ee，f(x)x2ex，f(1)12e1e，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(1e)(x1)，即y(1e)x.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。(2)f(x)在R上是增函数，f(x)0在R上恒成立，f(x)x22xaex
8、，f(x)x2aex，于是有不等式x2aex0在R上恒成立，即a在R上恒成立，令g(x)，则g(x)，令g(x)0，解得x3，列表如下：x(，3)3(3，)g(x)0g(x)故函数g(x)在x3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min，所以a，即实数a的取值范围是.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。考点精要1导数与函数单调性、极值的关系(1)f(x)0在(a，b)上成
9、立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(x0)0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例(2017北京高考)已知函数f(x)ex cos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。解(1)因为f(x)excos xx，所以
10、f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。所以h(x)在区间上单调递减構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。所以对任意x有h(x)h(0)0，輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾
11、淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。类题通法1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。2求函数的最值的方法(1)求f(
12、x)在(a，b)内的极值(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值1函数f(x)13xx3()A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：选Df(x)3x23，由f(x)0，得x1.当x(1,1)时，f(x)0，f(x)的单调增区间为(1,1)；同理，f(x)的单调减区间为(，1)和(1，)当x1时，函数有极小值1，当x1时，函数有极大值3，故选D.2已知函数f(x)(x1)，(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)，x1，ln x0，f(x)0
13、.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。故函数f(x)在1，)上单调递减(2)x1，f(x)k，令g(x)，g(x).鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。再令h(x)xln x，则h(x)1.x1，则h(x)0，h(x)在1，)上单调递增h(x)minh(1)10，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，k2.故实数k的取值范围为(，2.生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。考点精要解答思路典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率)阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100
