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1、导数及其应用 第一章 1 3 导数的应用 第2课时 利用导数研究函数的极值 第一章 课堂典例探究 2 课 时 作 业 3 课前自主预习1 课前自主预习 苏轼 题西林壁 中的诗句 横看成岭侧成峰 远近高低 各不同 描述的是庐山的高低起伏 错落有致 在群山之中 各个山峰的顶端 虽然不一定是群山的最高处 但它却是其 附近的最高点 那么 在数学上 这种现象如何来刻画呢 1 如何利用导数求函数的单调区间 2 函数最大值 最小值的定义是什么 答案 1 在函数定义域内 由f x 0可得函数的增区间 由f x 0可得函数的减区间 2 设y f x 的定义域为I 若存在实数M满足 x I 都 有f x M 且存
2、在x0 I 使得f x0 M 则称M是y f x 的最 大 小 值 一 函数的极值 1 函数极值的概念 已知函数f x 设x0是定义域 a b 内任一点 如果对x0附 近的所有点x 都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作y极 小 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为 极值点 点x1 x3是极大值点 x2 x4是极小值点 且在点x1处的极 大值小于在点上x4处的极小值 2 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 3 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能 成为极值点 4 若f x 在 a b 内有极值
3、 那么f x 在 a b 内绝对不会是 单调函数 即在区间上的单调函数没有极值 2 极值与导数的关系 如图 1 若x0是极大值点 则在x0的左侧附近f x 只能是增 函数 即f x 0 在x0的右侧附近f x 只能是减函数 即 f x 0 f x0 0是函数f x 在x0处取得极值的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 D 注意 1 求可导函数y f x 在 a b 上的最大值 最小值 步骤 求f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 计算函数f x 在区间内使f x 0的所有点和端点的函数 值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小
4、值 2 若函数f x 在闭区间 a b 上是单调函数 则可直接利用 单调性法求函数的最值 即若f x 在 a b 上递增 则f x 的最 大值为f b 最小值为f a 若f x 在 a b 上递减 则f x 的最大 值为f a 最小值为f b 2 极值与最值的关系 1 函数的最值是一个整体性的概念 函数极值是函数在某 一点及其附近的局部性概念 具有相对性 而函数的最值则是 表示函数在整个定义域上的情况 是对整个区间上的函数值的 比较 2 函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值 则最大值 或最小值只能各有一个 具有唯一性 而极大值和极小值可能 多于一个 也可能没有 例如 常数函数就既没有极大值也
5、没 有极小值 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有 极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成 为最值 最值只要不在端点处取必定是极值 下列结论正确的是 A 在区间 a b 上 函数的极大值就是最大值 B 在区间 a b 上 函数的极小值就是最小值 C 在区间 a b 上 函数在x a和x b时取得最大值和最 小值 D 一般地 在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必 有最大值和最小值 答案 D 解析 由于函数在给定的闭区间上不一定有极值 但必 有最值 且最值有可能在端点处取得 也有可能在极值点取得 因此前三个选项都不正确 三 函数极值与最值的应用技巧
6、1 确定参数的值 这里一般用待定系数法 2 求参数的取值范围 运用化归与转化的思想方法 3 判断方程根的变化 这里一般是利用数形结合的思想来 讨论方程的根 即先根据函数极值的情况画出函数f x 的草图 再观察方程的根 或转化为函数的零点问题 4 证明不等式 这里一般是先构造函数 再根据函数的最值来证明不等式 求含参数的值域问题时 通常对参数进行分类讨论 课堂典例探究 求函数的极值 求函数f x x3 3x2 9x 5的极值 含参数的极值问题 已知函数f x x3 ax2 bx c 当x 1时 取得极大值7 当x 3时 取得极小值 求这个极小值及a b c的值 函数的最大值与最小值 含参数的最值
7、问题 已知函数f x ax3 6ax2 b 问 是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由 分析 利用求最值的方法确定a b的值 注意对a的讨论 利用函数最值处理不等式问题 辨析 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数 先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 正解 由错解得当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9
