《数学人教A选修1-2同步课件：第二章 2.2.2反证法 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教A选修1-2同步课件：第二章 2.2.2反证法 .pptx（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 2 反证法 第二章 2 2 直接证明与间接证明 学习目标 1 了解间接证明的基本方法 反证法 2 理解反证法的基本模式 思考过程和特点 3 结合已学过的数学实例 理解反证法的推理过程及其证明数 学命题的一般步骤 体会反证法在数学证明中的作用 4 通过具体实例 体会直接证明与间接证明的区别和联系 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 反证法的定义 思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中 可以作为条件使用的是 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 A B C D 梳理 一般地 假设 不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这
2、样的证明方法叫做反证 法 反证法是 的一种基本方法 原命题矛盾 间接证明 知识点二 反证法的理论依据 思考 反证法解题的实质是什么 答案 否定结论 导出矛盾 从而证明原结论正确 梳理 由四种命题的相互关系可知 原命题 若p 则q 与命题 若非q 则非p 互为逆否命题 具有同真同假性 即等价性 根据这一结论 要证 原命题 若p 则q 为真 可以改证逆否命题 若非q 则非p 为真 这种 证明方法即为反证法 也就是说 若非q 即否定结论 假设结论的反面成 立 则非p 经过推理论证 得出与题设条件相矛盾的结论 从而根据等 价性原则 肯定原命题成立 知识点三 反证法的一般步骤 思考 1 反证法常见的主要
3、矛盾有哪些 答案 常见的主要矛盾有三类 与已知条件矛盾 与假设矛盾 自相矛盾 与定义 定理 公理及事实矛盾 2 反证法适用范围主要有哪些方面 答案 一般地 以下几种情况宜用反证法 结论本身是以否定形式出现 的命题 结论是以 至多 至少 形式出现的命题 关于唯一性 存在性 的问题 或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等 梳理 反证法的证题步骤 1 反设 假设所要证明的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 归谬 由 反设 出发 通过正确的推理 得出矛盾 这个矛盾可以是与 已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定理 公理 定义 事实矛盾等 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既
4、然 结论的反面不成立 从而证明了结论成立 1 反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 思考辨析 判断正误 题型探究 例1 反证法是 A 从结论的反面出发 推出矛盾的证法 B 对其否命题的证明 C 对其逆命题的证明 D 分析法的证明方法 类型一 反证法概念的理解 答案解析 解析 反证法是先否定结论 在此基础上 经过正确的推理 最后得出 矛盾 从而证明了原命题成立 反思与感悟 对于反证法 其实质是先否定结论 根据否定后的结论 连同题目条件 推出矛盾 从而侧面说明原命题成立 跟踪训练1 1 命题 在 ABC中 若 A
5、 B 则a b 的结论的否定 应该是 A ab 的否定应为 a b或a2矛盾 假设不成立 原命题结论正确 反思与感悟 常用的 原结论词 与 反设词 如下表 原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个 反设词 一个也没有 不 存在 至少有两个至多有n 1个 至少有n 1个 跟踪训练3 已知函数f x 在区间 a b 上是增函数 求证 方程f x 0 在区间 a b 上至多有一个实根 证明 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 即f f 0 且 不妨设 f x 在区间 a b 上单调递增 f f 这与f f 0矛盾 f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 命题角
6、度3 证明否定性命题 2ac bc ab 又a b c成等差数列 2b a c 2ac b a c b 2b b2 ac 由 得4b2 a c 2 把 代入上式得4ac a c 2 a c 2 0 a c 把a c代入 得b a 故a b c 公差为0 这与已知矛盾 反思与感悟 证明否定性问题常用反证法 例如证明异面直线 可以先 假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 证明 所以假设不成立 所以原结论成立 达标检测 1234 答案 5 解析 解析答案 12345 2 异面直线在同一个平面上的射影不可能是 A 两条平行直线 B 两条相交直线 C 一个点与一条直线 D 同一条直线 解析 如图所示
7、 在正方体ABCD A1B1C1D1中 A1A 与B1C1是两条异面直线 它们在平面ABCD内的射影分别 是点A和直线BC 故排除C BA1与B1C1是两条异面直线 它们在平面ABCD内的射影 分别是直线AB和BC 故排除B BA1与C1D1是两条异面直线 它们在平面ABCD内的射影 分别是直线AB和CD 故排除A 故选D 3 由四种命题的关系可知 反证法的实质是通过 来证明原命题的 正确性 答案 12345 逆否命题 12345 答案解析 4 用反证法证明命题 若a b是实数 且 a 1 b 1 0 则a b 1 时 应作的假设是 a 1或b 1 解析 结论 a b 1 的含义是a 1且b
8、1 故其否定应为 a 1或b 1 12345 证明 5 证明 方程2x 3有且仅有一个实根 方程2x 3至少有一个实根 设x1 x2是方程2x 3的两个不同实根 由 得2 x1 x2 0 x1 x2 这与x1 x2矛盾 方程2x 3有且仅有一个实根成立 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺 少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否 则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以与已知矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾 但推导出的矛盾必 须是明显的 规律与方法 本课结束
