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1、章末复习学习目标1.掌握充分条件、必要条件的判定方法.2.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定1充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地,若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作pq,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件一般地,如果既有pq,又有qp,就记作pq.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征:对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件;传递性:若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件即若pq,qr,则pr.必要
2、条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定2量词(1)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“x”表示“对任意x”(2)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“x0”表示“存在x0”3含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题(1)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题()(2)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件()类型一充要条件例1(1
3、)已知函数f(x)x2bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)当b0,且x0时,f(x)取得最小值,则f(x)的值域为,则当f(x)时,f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,故是充分条件;当b0时,f(x)x2,f(f(x)x4的最小值都是0,故不是必要条件故选A.(2)当两个平面内的直线相交时,这两
4、个平面有公共点,即两个平面相交;但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点反思与感悟分清条件与结论,准确判断pq,还是qp.跟踪训练1已知p:2,q:x22x1m20(m0),若q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围解由x22x1m20(m0),得1mx1m.由2,得2x10.由q是p的必要不充分条件知,p是q的充分不必要条件,且不等式组中的等号不能同时成立,得m9.类型二含有一个量词的命题例2 下列命题中的假命题是()AxR,2x10 BxN*,(x1)20Cx0R,lg x01 Dx0R,tan x02答案B解析当xN*时,x1N,可得(x1)20,当且仅当x1时取等号,故B不正
5、确;易知A,C,D正确,故选B.反思与感悟判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个xx0,使p(x0)成立跟踪训练2 下列命题中的真命题是()Ax0R,使得sin x0cos x0BxR,1sin x1Cx0(,0),2x0cos x答案B解析因为sin xcos xsin,故A错误;由正弦函数的值域可知B正确;当x0时,y2x的图象在y3x的图象上方,故C错误;因为当x时,sin x”的否定是“”(2)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()AxR,1f(x)2Bx0R,1f(x0)2Cx0
6、R,f(x0)1或f(x0)2DxR,f(x)1或f(x)2答案D解析特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“xR,f(x)1或f(x)2”反思与感悟对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;(2)对原命题的结论进行否定跟踪训练3已知命题p:“x0R,x010”,则命题p的否定为()Ax0R,x010Bx0R,x010CxR,exx10DxR,exx10答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系,可得命题p的否定为“xR,exx10”,故选C.1设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不
7、充分条件 D既不充分也不必要条件答案C解析xyx|y|(如x1,y2),但当x|y|时,能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件2“0m1”是“函数f(x)cos xm1有零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析方法一若0m1,则01m1,cos x1m有解要使函数f(x)cos xm1有零点,只需|m1|1,解得0m2,故选A.方法二函数f(x)cos xm1有零点,则|m1|1,解得0m2,m|0m1m|0m2“0m1”是“函数f(x)cos xm1”有零点的充分不必要条件3已知命题“x0R,使2x(a1)x00”是假命题,则实数a
8、的取值范围是()A(,1) B(1,3)C(3,) D(3,1)答案B解析原命题的否定为xR,2x2(a1)x0,由题意知,其为真命题,即(a1)2420,则2a12,即1a3.4对任意x1,2,x2a0恒成立,则实数a的取值范围是_答案(,0解析由x2a0,得ax2,故a(x2)min,得a0.5已知命题“xR,x25xa0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是_答案解析由“xR,x25xa0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x25xa0对任意实数x恒成立设f(x)x25xa,则其图象恒在x轴的上方,故254a,即实数a的取值范围为.(1)判定全称命题“xM,p(x)”是真命题
9、,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个xx0,使p(x0)成立(2)对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;对原命题的结论进行否定一、选择题1“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“直线l垂直于平面”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C2下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A有一个,使tan(90)B存在实数x0,使sin x0C对一切,sin(180)sin Dsin 15sin 60cos 45cos 60sin 45答案A3命
10、题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()AxR,|x|0 Bx0R,|x0|0CxR,|x|0 Dx0R,|x0|0答案C4若向量a(x,3)(xR),则“x4”是“|a|5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若x4,则a(4,3),|a|5,若|a|5,则5,x4,故“x4”是“|a|5”的充分不必要条件5王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件故选B.6命题“xR,x2x”的否
11、定是()AxR,x2x BxR,x2xCx0R,xx0 Dx0R,xx0答案D解析全称命题的否定是特称命题,所以“xR,x2x”的否定为“x0R,xx0”二、填空题7若命题p:常数列是等差数列,则其否定为:_.答案存在一个常数列,不是等差数列解析全称命题的否定是特称命题8设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足xy2,则p是q的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当x1,y1时,xy2一定成立,即pq,当xy2时,可令x1,y4,则x1且y1不成立,即qD/p,故p是q的充分不必要条件9已知命题p:axa1,命题q:x24x0,若p
12、是q的充分不必要条件,则a的取值范围是_答案(0,3)解析令Mx|axa1,Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件,MN,解得0a3.10定义f(x)x(x表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”,例如1.22,44.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_f(2x)2f(x);若f(x)f(y),则xy1;任意x,yR,f(xy)f(x)f(y);f(x)ff(2x);函数f(x)为奇函数答案解析根据新定义“取上整函数”的意义f(2x)2f(x)不一定成立,如x取1.5;f(x)ff(2x)不一定成立,如x取0;函数f(x)不满足奇函数的关系,如f(1.6)f(2),f(1.6)f(1)故答案为.三、解答题11设p:2x23x10,q:x2(2a1)xa(a1)0,若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围解由题意得,p:x1,q:axa1.q