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1、2016级第一次月考文科数学试卷一选择题(本大题共12个小题,每小题5分,满分共60分,每小题只有一个正确答案)1. 设函数在处可导,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数在处可导,2. 求函数的导数( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,选D3. 已知函数在处导数值为3,则的解析式可能是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】选项A中,所以,符合题意,故A正确选项B中,所以,不符合题意,故B不正确选项C中,所以,不符合题意,故C不正确选项D中,所以,不符合题意,故D不正确综上选A4. 曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】,又,所求
2、切线方程为,即选A5. 设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函数可能为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得,当时,函数单调递增,故;当时,函数先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正结合所给选项可得D符合题意选D6. 函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】,在区间单调递增,在区间上,恒成立,在区间上,故选C.【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注
3、意若函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围,本题是利用方法 求解的7. 函数的图象与直线相切,则a等于( )A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由消去y得:。由题意得:所以.故选B8. 某箱子的容积与底面边长x的关系为,则当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为A. 30 B. 35 C. 40 D. 50【答案】C【解析】,当时,单调递增;当时,单调递减当时,有最大值,即当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为40选C9. 设曲线在点处的切线与直线平行,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】,解得选B10. 已知
4、f(x)x2cosx,x1,1,则其导函数是A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D【解析】,为奇函数设,则,在区间上单调递增在区间上既有最大值也有最小值选D11. 定义在闭区间a,b上的函数yf(x)有唯一的极值点xx0,且y极小值f(x0),则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的最大值也可能是f(x0) B. 函数f(x)有最小值,但不一定是f(x0)C. 函数f(x)有最小值f(x0) D. 函数f(x)不一定有最小值【答案】C【解析】定义在闭区间a,b上的函数yf(x)有唯一的极值点xx0,
5、且y极小值f(x0),函数在区间上单调递减,在上单调递增,当时,函数有极小值,也为最小值选C12. 已知定义在上的奇函数,设其导函数为,当时,恒有,令,则满足的实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由可得,在上单调递减又函数为偶函数,在上单调递增又,解得实数的取值范围是选A点睛:(1)对于条件中含有导函数的不等式的问题,解题时一般要通过构造函数的方法进行,结合导数的运算法则构造出积或商形式的函数,然后再结合函数的单调性解题(2)解函数不等式时要注意函数性质的利用,如本题中对于先减后增的偶函数,在解不等式时,可将问题转化为变量到对称轴的距离的问题处理二、填空题(本大题共
6、4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13. 若函数,则=_【答案】16【解析】因为,所以。14. 函数在上的最小值是_【答案】1【解析】,当时,单调递减;当时,单调递增当时,有最小值,且答案:115. 函数的最大值为_【答案】【解析】f(x)=,f(x)=,令f(x)=0得x=e当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上为增函数,当x(e,+)时,f(x)0,则在(e,+)上为减函数,fmax(x)=f(e)=故答案为:。16. 已知,若,使得成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意得“,使得成立”等价于“ ”,当时,又,当时,单调递减;当时,单调递增故
7、当时,函数有最小值,且实数的取值范围是答案:点睛:解答本题时要注意转化思想方法的运用,将问题转化为函数的最值问题处理要注意以下结论的运用:“,使得成立”等价于“ ”;“,使得成立”等价于“ ”;“,使得成立”等价于“的值域存在交集 ”;“,使得成立”等价于“的值域相同”等三、解答题(本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知函数,若函数在其定义域上为增函数,求的取值范围【答案】【解析】试题分析:将问题转化为导函数在定义域上大于等于零恒成立的问题处理,然后利用分离参数的方法求解即可试题解析:由题意得函数的定义域为, , 函数在上单调递增, 对恒成立,即对恒成立, 对恒成
8、立又当时,当且仅当即时等号成立 ,解得 实数的取值范围为18. 已知函数()若的图象在处与直线相切(1)求的值;(2)求在上的最大值【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)对进行求导,求出切线方程,只需求出其斜率即可,利用函数在处的导数值求解斜率,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,列出关于的方程求解的值;(2)研究区间上函数的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定函数的最大值试题解析:(1)由函数在处与直线相切,得,即,解得:(2)由(1)得:,定义域为此时,令,解得,令,得所以在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为考点:导数的几何意义;利用导
9、数求解函数的最值19. 已知是函数的一个极值点(1)求;(2)求函数的单调区间【答案】(1)12;(2)见解析【解析】试题分析:(1)根据极值点为导函数的零点求解,求出的值后需要验证(2)由(1)得到函数的解析式,求导数后由导函数大于零可得增区间,由导函数小于零可得减区间试题解析:(1)由题意得,解得经检验知满足题意(2)由(1)知,x(0,),由,得或;由,得函数f(x)的单调增区间是;单调减区间是点睛:(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤:确定函数f(x)的定义域;求导数f(x);在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0;根据的结果确定函数f(x)的单调区间(2)
10、要注意对含参数的函数的单调性进行讨论,分类时要做到不重不漏,解题时可结合函数的图象利用数形结合进行20. 已知函数(1)求的极小值;(2)对恒成立,求实数的取值范围【答案】(1)1;(2)【解析】试题分析:(1)先求出导函数,然后根据导函数的符号判断出单调性,然后可得到函数的极值(2)分离参数可得当时,恒成立,然后求出函数的最小值即可得到所求范围试题解析:(1),当时,单调递减;当时,单调递增当时,有极小值,且极小值为(2)由题意得当时,恒成立令,则,由,得当变化时,与的变化情况如下表:由表知,实数的取值范围是21. 已知函数的图像在处的切线方程为; (1)求函数的解析式; (2)求函数在上的
11、最值【答案】(1);(2)最小值为,最大值为【解析】试题分析:(1)求出导函数,然后根据得到关于的方程组,解方程组可得,从而可得函数的解析式(2)先求出函数在区间上的极值和端点值,比较大小后可得函数的最大值和最小值试题解析:(1)由题意得,在处的切线方程为, ,即,解得 函数的解析式为(2)由(1)得, 当时,单调递增, 当时,单调递减. 当时,有极大值,且极大值为又, 在上的最小值为,最大值为点睛:(1)求给定区间上的函数最值的步骤:求函数的导数;求在给定区间上的单调性和极值;求在给定区间上的端点值;将的各极值与的端点值进行比较,确定的最大值与最小值;(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有
12、一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较22. 已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的解析式;(2)若经过点可以作出曲线的三条切线,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,然后根据导数的几何意义得到关于的方程组,解方程组求得后可得函数的解析式(2)设出切点,求导数后可得,即为切线的斜率,然后根据斜率公式可得,即若函数有三条切线,则函数有三个不同的零点,根据函数的极值可得所求范围试题解析;(1),根据题意得,解得,函数的解析式为.(2)由(1)得 设切点为,则,故切线的斜率为,由题意得,即, 过点可作曲线的三条切线方程有三个不同的实数解,函数有三个不同的零点由于,当时,单调递增, 当时,单调递减,当时,单调递增.当时,有极大值,且极大值为;当时,有极小值,且极小值为函数有3个零点,解得实数的取值范围是点睛:利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的大体形状,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有直观的整体展现(2)研究方程根的情况,也可通过分离参数的方法,转化为两函数图象公共点个数的问题处理,解题时仍要利用数形结合求解