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1、抛物线及其标准方程（人教版数学选修21）教学设计铜陵一中陈良骥一、教学内容解析1. 教学内容抛物线的定义与抛物线的标准方程所用教材为数学（选修21）（人教版）第二章第四节.2内容解析初中阶段，抛物线为学生学习二次函数提供直观的图象感觉；高中阶段，抛物线在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的定义与曲线上点的本质特征，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了圆、椭圆与双曲线的定义之后，已具备了探讨这个问题的能力与必要。从本章来讲，这一节放在椭圆与双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线进一步完善的需要；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强
2、化。这种体系编排符合认知的逻辑性与渐进性原则，同时与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐美。通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.二、教学目标设置1教学目标（1）经历抛物线定义的形成过程，掌握抛物线定义；体验抛物线方程的推导过程，掌握抛物线的标准方程（2）通过抛物线的学习，进一步体会数形结合思想，初步形成用代数的方法解决几何问题的
3、能力（3）感受数学来源于生活，又应用于生活，体验自主探究、合作学习的乐趣2目标解析为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据新课改提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线概念的形成”和“拋物线的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过师生间、生生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜
4、悦。而对于抛物线标准方程的四种形式，选择开口向右的类型（或向上）的作为突破，其它形式可以视具体情况灵活处理，如果课堂时间紧迫可以留作学生课后探究作业或者在第二课时解决。三、教学重难点1.重点：抛物线定义，p的几何意义，抛物线的标准方程2.难点：抛物线定义的形成过程与抛物线标准方程的推导（以开口向右的为主）四、学生情况分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的想象能力、抽象概括能
5、力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.理论上在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.实践中因为教学进度参与录课的学生对解析几何圆锥曲线还没有涉及，所以课堂教学中教师要兼顾体现课程的整体性与学生的实际学习情况。五、教学策略分析1.利用几何画板软件直观展示二次函数不能作为抛物线的本质属性，让学生反思抛物线应该怎样定义；再利用几何画板软件直观揭示动点M点的形成过程，让学生直接，理性的观察抛物线的形成过程，自觉思考抛物线定义。2.利用自制的微课资源和抛物线图纸让学生近距离观察最佳建系方案，从而让学生体验动脑
6、动手，自主探究，合作探究的乐趣，进一步巩固解析几何研究一般曲线的思想方法；另一方面也兼顾到录课学生的实际情况，让他们提前接触感受解析几何的有关思想与方法。六、教学过程设计环节1课堂引入，提出问题教师赠送学生礼物篮球，引出课题问题1.数学中哪里研究过抛物线？问题2.二次函数是抛物线的本质属性吗？抛物线上的点又符合怎样的特征呢？问题3.农夫取水问题:如图：直线l表示一水渠，定点F表示一水井，点F到直线l的距离为定值p（p0）,假设水渠和水井内都有足够的水，本着就近取水的原则,请在菜地中作一个边界，使得位于边界一侧的点到水渠l的取水，位于另一侧的点到水井F处取水。【设计意图】1.通过画板软件将抛物线
7、旋转引导学生得出二次函数的图像不是抛物线的本质属性的反思。这样就单刀直入地将抛物线由生活引至数学中，在最近发展区引导学生，符合学生的认知规律；同时在数学理性的思维下提出到底什么才是抛物线的本质属性的反思，很自然地制造了学生的思维冲突，引导学生迫不及待地积极思考。2.“农夫取水问题”本身有一定的复杂性，所以教师选择边读题边审题，边画图边解释的模式，不在文字理解上为难学生，问题本身来源于生活，有很强的现实性和趣味性，在教师叙述结束后试图激活学生的思维，课堂上气氛一定会更加热烈，引人入胜；同学们一定会表现得跃跃欲试，很想一探究竟。环节2启迪思维，探究问题问题4.边界上的每一点M应当具有什么特征？问题
8、5.大家能做出一个这样的M点吗？问题6.如何做出一般的M点？问题7.所有的M点组成的点集是什么曲线？【设计意图】：这一部分目标是探究抛物线的定义，分成了3个小部分：1.得出边界上的点的特征，并初步确定一个边界上的M点.（问题4,问题5）2.师生合作得出一般M点的画法.3.几何画板软件操作，得出M点点集形成的曲线。这样设计的主要意图有：（1） 每一个环节都试图让足够多的学生参与进来。其中环节1预计安排学生回答,环节2安排学生上黑板画图解读,环节3安排学生充当程序操作员，处处体现出学生参与第一的原则。这里教师不单是知识的呈现者，不能是知识权威的象征，不能不顾学生的思维规律和现状。而应该重视学生自己
9、对各种现象的理解，倾听他们时下的看法，思考他们这些想法的由来，并以此为据，引导学生丰富或调整自己的解释（皮亚杰）。所以笔者并没有准备越俎代庖，而是试图引导学生在多角度全方位的思考后在脑海中形成的动点M的画法和曲线特征。这一切都是他们自己主动参与探究的结果，让学生体验探究的成功与收获。（2） 环节与环节之间环环相扣，层层深入。从“先找出一个这样的M点到再找一个M点方法”，从“估画一个M点再到画一个准确的一般M点”的设问方式都符合从特殊到一般，从感性到理性的规律。教师循循善诱，步步为营，将探究过程一点一滴推进，从而加强学生的科学精神的培养和思维严谨性的锻炼。最后通过程序操作员之手利用几何画板软件将
10、点M组成的几何呈现出来，再从更高的感性上来认识抛物线。体现出螺旋上升的教学过程，为下一步更高的理性认识抛物线定义做好铺垫。（3） 深化概念，动态生成。在学生探究点集组成什么曲线时，教师不断地强调M满足的几何特征，这是抛物线的本质属性，也是抛物线定义的核心。环节3、步步深入，成果生成问题8.抛物线应当怎么定义，关键词有哪些？问题9.怎样建系使得方程较简洁？问题10.标准方程的特征和形成原因？问题11.怎么由标准方程判断抛物线的几何特征？【设计意图】：这一部分主要是得出抛物线的定义以及推导抛物线的标准方程，设计分成了2个小环节：（1）总结抛物线的定义与对定义的解读（2）探索抛物线的标准方程.主要意
11、图有:（1） 体现合作探究的意识。环节1中准备由学生口述,教师板书,这是师生双边合作.环节2中分组探究建系方案与求抛物线方程,这是学生之间的多边合作.数学学习不仅需要学生的独立思考,更需要合作交流.大家在合作中交换各自的想法,然后再汇总起来以一个更好、更全面的形势呈现出来,让不同层次的学生都能体会学习的乐趣与成功的喜悦,这是一件多么美好的事情.（2） 塑造科学严谨、精益求精的理性精神。预计环节1学生表达抛物线的定义时，容易对F点不在L上遗漏，教师要适时启发补漏。并对为什么当F点在L上时，动点M的集合组成什么曲线进行追问，不在定义形成上留死角，有利于养成科学严谨的思维习惯。另外，笔者在建系的设计
12、讨论上不是问“有哪些建系方案”，而是让小组“画出讨论后的最优方案”，迫使学生分析比较各种可能的建系方法，体现精益求精的探索过程。（3） 强化数形结合，类比对比的思想方法。从环节1抛物线定义到环节2抛物线标准方程的求法，是从“形”到“数”的转变，是解析几何基本思想的体现。这里笔者注重过渡语言的表达，强调解析几何研究曲线的思想和一般步骤，使得整个过程轻松自然，顺理成章。环节2中求抛物线方程的一般过程是类比椭圆、双曲线的标准方程一般过程来的，可以由学生表达，然后操作。体现出类比转化的数学思想。（4） 部分翻转，自主探究，动态生成。问题911整个过程都是受翻转课程的启发，秉承体现学生自主探究的教学理念
13、。特别在环节2的学生讨论建系方案时，教师不启发，不暗示，完全由学生应用已有的数学知识自己讨论，动态生成。当然整个过程中可能有一些意想不到的情况，需要教师当场作出反应。以保证课堂的连续、自然、高效。环节4、范例分析，巩固提高1.判断下列方程是不是抛物线的标准方程，若是，请说出抛物线的开口方向和焦准距p的值。 （1）(y2)=2（x-1 ） （2）(y2)=4x （3）(x2)=y2. 根据下列条件求抛物线的标准方程。（1） 抛物线的焦点坐标是F（2,0）（2） 抛物线的准线方程是l:y= -(3/2)【设计意图】：这一个环节主要是对教学的目标进行课堂上的检测。例1是由数到形；例2是由形到数。让学
14、生在数形之间不断转化，增强理解，巩固提高。环节5、课堂总结，布置探究方向课堂小结1这节课研究了什么？2我们是怎样研究的？课后研究提纲1比较抛物线的定义与课本第一节例6和第二节例5，你有什么发现？2.二次函数y=ax(2)+bx+c（a0)的图像是一条抛物线，请写出它的焦点坐标和准线方程；3.请你根据抛物线的定义，应用生活中一些工具，做一个画抛物线的仪器；4.生活中有很多抛物线的实例，请收集相关资料（可百度），写一篇抛物线应用的小论文。七、板书设计课题：2.4.1抛物线及其标准方程一、 定义 图示区二、 标准方程展示建系方案一（图纸） 展示建系方案二（图纸）展示建系方案三（图纸） 展示建系方案四（图纸） 八、总结与反思
