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1、湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三数学12月联考试题 文总分： 150分 时量：120分钟 考试时间：2019年12月8日第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、集合,，则（ ） A. B. C. D.2、复数满足，则( ) A. 2 B. C.1 D.3、已知条件，条件，则是成立的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件4、莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之
2、一是较小的两份之和，则最大一份的个数为（ ） A.2 B.15 C.32 D.465、函数（）在处取得最大值，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数6、已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D.7、在中，点满足，则( ) A. B. C. 4 D.88、已知在处取得极值，则的最小值为( )A. B. C. D. 9、,则（ ） A. B. C. D.10、函数的图象大致为( ) 11、过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若，则的离心率为( ) A. B.2 C. D.512、已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围
3、为（ ） A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答第22题第23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13、已知与之间的一组数据如下表所示： 当变化时，回归直线必经过定点 14、若满足约束条件，则的最大值等于 15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为 16、如图在中，为边上一点若，则的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否
4、与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：男性观众 女性观众（）根据该等高条形图，完成下列22列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众女性观众总计60（）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率 18、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且平面，是中点，（）求证：；（）若，求三棱锥的高 19、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，（）求证：数列是等
5、差数列；（）若，设数列的前n项和为Tn，求T2n. 20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.（）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（）若圆的半径为2，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值. 21、（本小题满分12分）已知函数， ()讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）写出的极坐标方程；（）设曲线经
6、伸缩变换后得到曲线，曲线（）分别与和交于,两点，求 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为（）求的值；（）设关于的方程（）有实数根，求实数的值 湖南省湘东七校2019年下期高三联考文科数学试题答案及评分参考 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分 1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D 12.解析:因为函数，所以方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.由图像知，若，则直线与曲线必有交点，则.设直线与曲线相切时，切点为，由，得解得，则，所以切线方程为得.由图像知实数的取值范围为，选D
7、 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分 13、 14、2 15、 16、 15.解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为，则解得，半径为，所以表面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等满分12分解：（）由题意得列联表如下：喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众24630女性观众151530总计3921603分假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关，则的观测值，5分所以能在犯错误的概率不超过
8、0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关6分 （）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，不喜欢节目A的人数为7分被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为；不喜欢节目A的1名记为则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，共有10种9分其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有，共4种 10分所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：12分 18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12分（）证明：取的中点，连结，如图所示因为点是
9、中点，所以且1分又因为且，所以且，2分所以四边形为平行四边形，所以，3分因为平面，平面，所以4分所以5分（）解：设点为的中点，连结，如图所示，因为，由（）知，6分又因为，所以，所以7分所以为正三角形，8分所以，且9分因为平面，所以平面10分因为平面，所以，11分又因为，所以平面所以三棱锥的高为12分19、本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12分解：（）证明：因为当时，所以1分所以,2分因为所以，所以，3分所以4分所以是以为首项，以1为公差的等差数列6分（）由（）可得，所以. 8分 9分 12分 20、解：（）因为椭圆
10、的方程为，所以，. .1分因为轴，所以，而直线与圆相切，根据对称性，可取， .2分则直线的方程为，即. .3分由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. .5分（）易知，圆的方程为.当轴时，所以，此时得直线被圆截得的弦长为. .7分 当与轴不垂直时，设直线的方程为，首先由，得，即，所以（*）. .9分联立，消去，得，在时代入（*）式，得. 10分由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. 12分 21、解：()的定义域为， .1分若则在上单调递增， .2分若则由得，当时，当时，在上单调递增，在单调递减.综上：当时，在上单调递增
11、，当时， 在上单调递增，在单调递减. .5分(),令,令,.7分 . .8分(2),以下论证同（1）一样，所以不符合题意 .10分,综上所述，的取值范围是 .12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22、选修；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等满分10分解：（）将消去参数，化为普通方程为，即，2分将代入，得，4分所以的极坐标方程为5分（）将代入得，所以的方程为7分的极坐标方程为，所以又，所以10分23、选修：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分10分解：（）由得，或2分解得依题意5分（）因为当且仅当时取等号，7分因为关于的方程（）有实数根，所以8分另一方面，所以，9分所以或10分 - 15 -
