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1、阶段质量检测(四)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。1等式122232n2(5n27n4)()An为任何正整数时都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立解析：选B分别用n1,2,3,4,5验证即可2用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。A12 B12残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂
2、。C12 D12酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。解析：选A第一步验证n2时不等式成立，即1n2(nN，n5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A假设nk时命题成立B假设nk(kN)时命题成立C假设nk(k5)时命题成立D假设nk(k5)时命题成立解析：选Ck应满足k5，C正确5数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。A3n2Bn2C3n1 D4n3解析：选B计算出a11，a24，a39，a416，可猜想ann2.6平面内原有k条直线，它们
3、的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析：选B第k1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点7用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：选A由34(k1)152(k1)18134k12552k12534
4、k12534k1鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。5634k125(34k152k1)8已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选Af(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故选A.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。9用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应该写成()A假设当nk(kN)
5、时，xkyk能被xy整除B假设当n2k(kN)时，xkyk能被xy整除C假设当n2k1(kN)时，xkyk能被xy整除D假设当n2k1(kN)时，xkyk能被xy整除解析：选D第k个奇数应是n2k1，kN.10已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)1642成立当k4时，有f(k)k
6、2成立二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11用数学归纳法证明1234n2(nN)，则nk1时，左端应为在nk时的基础上加上_渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。解析：nk1时，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21)(k1)2.答案：(k21)(k1)212设f(n)，用数学归纳法证明f(n)3，在假设nk时成立后，f(k1)与f(k)的关系是f(k1)f(k)_.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。解析：f(k)，擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。f(k
7、1)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。f(k1)f(k).坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。答案：蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。13设数列an满足a12，an12an2，用数学归纳法证明an42n12的第二步中，设nk时结论成立，即ak42k12，那么当nk1时，应证明等式_成立買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。答案：ak142(k1)1214在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为_，猜想Sn_.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾
8、鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。解析：因为Sn，Sn1,2S1成等差数列所以2Sn1Sn2S1，又S1a11.所以2S2S12S13S13，于是S2，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。2S3S22S12，于是S3，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。由此猜想Sn.答案：，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)用数学归纳法证明，对于nN，都有.構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。证明：(1)当n1
9、时，左边，右边，所以等式成立輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。当nk1时，识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。即nk1时等式成立由(1)(2)可知，对于任意的自然数n等式都成立16(本小题满分12分)用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式 均成立恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。证明：(1)当n2时，左边1，右边.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬
10、缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，且kN)时不等式成立，即.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。则当nk1时，阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立17(本小题满分12分)如果数列an满足条件：a14，an1(n1,2，)，谚辞調担
11、鈧谄动禪泻類谨觋鸾帧鲜奧淨黾违坛拦聰囈編诖骈贰伤踪鸛。证明：对任何自然数n，都有an1an且ana1.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹见鲛請綃硨標霽颌穑缂绷蝾鑄陝筚扫咛。且a1ak且ak0，那么ak10.这就是说，当nk1时不等式也成立，根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立因此，对任何自然数n，都有an1an，且an0.18(本小题满分14分)已知数列an满足a12，an12ana(nN)鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择睜鲔诌梦怼烨愛总挛摜纷缪腦旧慘梔浏。(1)若1，证明数列lg(an1)为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若0，是否存在实数，使得an2对一切nN恒成立？若存在，求出的取值范
12、围；若不存在，请说明理由纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛鋅鲒嗚赠讲颤員阚夠诞糶绋痉紙詎铼筚。解：(1)1，则an1a2an，an11(an1)2，lg(an11)2lg(an1)，lg(an1)是公比为2的等比数列，且首项为lg 3，lg(an1)2n1lg 3，an132n1，an32n11(nN)(2)由a22a142，得3，颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负這恻鲑觶嘰黾粵闺勝债黌竞稳撐谕鷯浍苌。猜想3时，对一切nN，an2恒成立当n1时，a12，猜想成立假设当nk(k1且kN)时，ak2，则由an1，得ak12濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖綜诉鲐卺網硨鴦觌崃鲞療禎瓯唢問瘗閎谌。0，銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎報嚴鲍蝇餑銻脏溆镣闕钪睑滤鸦傖铗玀钉。nk1时，ak12，猜想成立由可知，当3时，对一切nN，
